Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.4. Течение, вызванное циркуляцией на плоскости

В задаче о вихреисточнике, расположенном на оси, удается построить автомодельные решения, удовлетворяющие условиям прилипапия на плоскости. В то же время при отсутствии особенностей на оси выполнить условия прилипания не удается. Таким образом, платой за выполнение условий прилипания в этих задачах является допущение особенностей на оси. Но, оказывается, можно построить регулярное автомодельное решение, если циркуляцию задать не на оси, а на плоскости, потребовав при этом выполнения условия прилипания для меридионального ноля скорости.

Пусть вещество плоскости совершает движение, соответствующее потенциальному вихрю. Тогда в окружающехг жидкости формируется движение, описываемое в рамках автомодельного класса (2.1). Уравнения (2.3), (2.6), (2.9) с учетом требования регулярности на оси и подходящих граничных условий для можно переписать в виде

Система имеет шестой порядок, а условий восемь. Два «лишних» условия выполняются за счет подбора константы Последняя величина является свободным параметром, поскольку

Рис. 46.

Рис. 47.

Рис. 48.

особая точка. При численном решении удобно использовать метод стрельбы, решая задачу Коши. На оси задаются величины равными нулю, а также пробные значения Два из этих трех параметров (например, и подбираются так, чтобы выполнить условия третий параметр определяет число Рейнольдса На решении Результаты расчетов иллюстрируют рис. 46—48.

Зависимость интенсивности вращения вблизи оси от величины циркуляции на плоскости имеет немонотонный характер. Величина пропорциональна значению угловой скорости со на оси симметрии С ростом числа Рейнольдса угловая скорость сначала пропорционально растет, пока перенос завихренности имеет преимущественно диффузионный характер. При дальнейшем увеличении когда основным становится конвективный перепое, угловая скорость на оси уменьшается. Как и в предыдущих задачах, источник циркуляции вызывает поток «на себя», что приводит к самофокусировке вращательного движения. Поэтому зависимость от имеет такой же характер, что и на рис. 39 для случая конечных углов раствора конуса.

При больших числах Рейнольдса область течения подразделяется на три зоны: внешняя потенциальная область, внешний и внутренний пристенные пограничные слои. В потенциальной зоне вращательное движение практически отсутствует, а для меридионального движения с хорошей точностью выполняется соотношение (см. § 2) Интегрируя уравнение для циркуляции от оси с граничным условием получим распределение циркуляции в потенциальной области: При эти зависимости хорошо согласуются с результатами численного расчета в интервале (см. рис. 47).

Во внешнем пограничном слое аналитическое представление можно получить, пренебрегая влиянием вращения на меридиональное движение и условием Тогда применима формула (2.14а) и в силу изложенного в § 2

Интегрируя уравнение циркуляции от плоскости с граничным условием приходим к зависимости

Вторая константа интегрирования выбрана из условия при

Сращивая зависимости при определим константу

Так как на плоскости имеем в силу уравнения для циркуляции т. е. вблизи стенки циркуляция меняется с большой точностью линейно. Поэтому примем аппроксимацию

Интегрируя уравнение для получим

В силу условия интеграл собственный, и так как заметно отличается от нуля только при в окрестности стенки можно использовать приближение

Подставляя в качестве зависимости (16), получим Поскольку из равенства следует

Зависимость от числа Рейнольдса с использованием (17) нанесена на рис. 46 штриховой! линией. Эмпирическое значение константы в (17) приблизительно равно 1,27. Дифференцируя при и подставляя полученные выражения для приходим к асимптотической оценке Эта зависимость нанесена штрихпунктпрпой линией на рис. 46. Полученное аналитическим путем приближенное решение для выражаемое соотношениями (16) при с графической точностью не отличается от результатов численного расчета, представленных на рис. 47.

Во внутреннем пристенном пограничном слое изменяется распределение так, чтобы выполнялось условие прилипания Его толщину можно оценить из условия, чтобы в уравнении для у величина была много меньше Положим, например, и найдем Учитывая, что и разлагая в ряд, получим Таким образом, толщина внешнего пограничного слоя — и внутреннего Их толщины могут быть соотнесены по положению нуля и максимума (см. рис. 45).

Линии тока меридионального течения изображенные на рис. 48, показывают, что частицы жидкости приближаются на первом этапе к началу координат (при этом вращение практически отсутствует), затем после пересечения штриховой линии, разделяющей области положительных и отрицательных значений радиальной скорости, начинают удаляться от начала координат, по-прежнему сближаясь с плоскостью. На штрихпупктирной линии расстояние до плоскости достигает минимума, а затем возрастает асимптотически по корневому закону. В этом проявляется качественное отличие приведенного решения от решения Сквайра, для которого линии тока асимптотически параллельны плоскости.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление