Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.5. Струя, индуцированная движением вещества плоскости типа вихрестока

Как уже говорилось, в отличие от традиционной интерпретации здесь принята точка зрения, что решение Сквайра описывает движение окружающей среды, вызванное течением вещества плоскости типа стока, источником импульса в начале координат. При этом концентрация импульса вблизи начала координат трактуется как следствие, а не причина течения. Проблема выполнения условий прилипания на плоскости в такой интерпретации снимается: скорость внешней среды на плоскости совпадает со скоростью вещества плоскости. Рассмотренная в предыдущем разделе задача отличается в этом смысле от решения Сквайра только в том отношении, что вещество плоскости совершает движение не типа стока, а типа потенциального вихря. Естественным обобщением обеих задач является постановка, когда движение окружающей среды порождается течением вещества плоскости типа вихрестока, являющегося сочетанием этих частных течений. Решения такого класса были рассмотрены в работах [36, 37], а затем И Цзяшуием с соавторами [258] и в статье [223].

Рассчитаем границу на плоскости параметров, соответствующую «гидродинамическому взрыву» - потере существования решения, и дадим аналитическое представление решений в пограничных слоях. Решения удовлетворяют тем же уравнением, что и в предшествующем разделе, но граничные условия должны быть несколько модифицированы. На оси по-прежнему а на плоскости Здесь обильность стока на плоскости, а пропорциональна циркуляции движения вещества плоскости. Эти параметры являются независимыми характеризуют источник, порождающий движепие в среде, окружающей плоскость. При получаем решеиие Сквайра, а при случай, рассмотренный в разд. 3.4. Число Рейнольдса может быть определено так:

Рис. 49.

При численном решении задачи удобно ввести промежуточную параметризацию и считать данными величинами и Тем самым краевая задача сводится к задаче Коши. Входящая в уравнение константа находится из условия определяются в результате интегрирования от оси до плоскости. Алгоритм получается проще, чем в разд. 3.4, где «пристреливались» два условия на плоскости.

Карта режимов течения изображена на рис. 49. При имеем опускное течение, описанное в разд. 3.4. Качественно таким же режим остается и при Если мало и отрицательно, вблизи плоскости возникает узкая зона возвратного течения. Далее с ростом она расширяется (штриховая линия отвечает разделяющему конусу с и при пересечении кривой 2 охватывает всю область течения. С приближением точки на плоскости параметров к кривой 1 струя резко усиливается, а на самой кривой радиальная скорость и импульс струи обращаются в бесконечность. Координатная линия является осью симметрии. При с увеличением числа Рейпольдса развивается пристенный пограничный слой, вполпе аналогичный рассмотреному в разд. 3.4. И возрастание и увеличение приводит к тому, что момент импульса концентрируется вблизи плоскости. Поэтому вне малой окрестности стенки для у при применимо приближение

Хотя уже не пуль, но поэтому хорошим приближением будет модификация (16)

Значение параметра определяется из условия откуда

Более интересен и с точки зрения приложений и по своим свойствам случай Сходящееся течение вещества плоскости вызывает кумуляцию импульса вблизи оси, и при конечных значениях происходит «гидродинамический взрыв» — скорость на оси и импульс струи обращаются в бесконечность. При критическое значение (см. разд. 2.4). Если то

циркуляция может рассматриваться как пассивная «примесь», переносимая жидкостью. Поскольку источником циркуляции является плоскость, -ось, то в силу того, что диффузия и конвекция переносят циркуляцию от стенки к оси, при значениях параметров, близких к критическим, циркуляция будет почти постоянна во всей области (заметим, что удовлетворяет уравнению для циркуляции), кроме малой окрестности оси. Вблизи оси из-за условия формируется пограничный слой, в котором циркуляция меняется от нуля на оси до на внешней границе.

Циркуляция влияет на меридиональное течение только через функцию В силу граничных условий при разложение в ряд по степеням для функции начинается с кубического члена, причем Поэтому предположим, что циркуляция не влияет на меридиональное течение в пограничном слое, а затем проверим справедливость этого предположения. Так как для внешнего разложения в пределе бесконечно сильной струи по-прежнему при Поэтому остается в силе подход, изложенный в § 2. Меридиональное течение в ириосевом пограничном слое удовлетворяет уравнению (2.15), решением которого является струя Шлихтинга

Уравнение для циркуляции в ириосевом слое получено в разд. 2, п. 3.1: но его решение из-за отличия граничных условий будет теперь другим:

Уравнение для в переменных пограничного слоя имеет вид Поскольку при конечных значениях то при В силу граничных условий и имеет в пограничном слое порядок следовательно, влиянием циркуляции на меридиональное течение в пограничном слое действительно можно пренебречь.

Поскольку внешнее разложение для циркуляции тривиально применим погранслойное решение (18) для всей области при отыскании распределения в ядре течения. Интегрируя уравнение для при условиях получим или

Отсюда следует, что в ядре потока и вблизи стенки стремится к бесконечности при Однако на плоскости имеется соотношение откуда где члены, стремящиеся к нулю при -Удобно ввести функцию В пределе, когда

Главный член внешнего разложения для функции таким образом удовлетворяет уравнению

и граничным условиям Второе условие налагает связь на параметры определяющие границу существования решений. Поскольку точка особая, удобно интегрировать именно от определив производную из требования аналитичиости. Для этого достаточно продифференцировать уравнение (19) и подставить В результате получим При больших значениях правой части (19) главным становится нелинейный член в левой части уравнения. Отбросив линейные члены, находим потенциальное решение Это решение не удовлетворяет граничному условию на оси и непродолжимо вплоть до стенки, поскольку при подкоренное выражение отрицательно. Поэтому в распределении при можно выделить три участка: а) приосевой пограничный слой; б) потенциальное ядро; а) пристенный пограничный слой.

Для оценки толщины приосевого слоя найдем точку максимального сближения линейной зависимости с потенциальным решением. Это дает В пристенном слое сопряжем линейную зависимость Связь между найдем из условия, чтобы в точке сопряжения Отсюда Эти оценки получены с точностью до числовых коэффициентов порядка единицы.

На рис. 50, где в логарифмических масштабах нанесена функция определяющая соотношение параметров на кривой потери существования решений, видно, что зависимость асимптотически выходит на степенную. Штрихпупктирная линия отвечает закону С ростом циркуляции на линии потери

Рис. 50.

Рис. 51.

ществования сначала вырождается приосевой слой, а затем пристенный. Сопоставление решения уравнения (19) при и потенциального решения показывает, что приосевой и пристенный пограничные слои еще перекрываются. При отличие в составляет

Сравним результаты численного решения полной системы уравнений для (рис. 52, ) с аналитическими зависимостями (18) для и решением Шлихтинга для у (штриховые линии). По участку совпадения получаем представление о толщине пограничного слоя при этих значениях параметров. Погранслойпое приближение для качественно верно отражает распределение циркуляции во всей области течения, хотя выход на асимптотическое значение с ростом на точном решении происходит быстрее в противоположность со случаем вихревой нити (см. рис. 38).

Для меридионального течения область можно подразделить на четыре зоны. Внутренний приосевой пограничный слой (струя Шлихтинга) появляется с приближением к границе существования решений и его толщина обращается в пуль при конечных значениях Внешний приосевой и пристенные пограничные слои развиваются при больших значениях числа Рейнольдса и связаны с тем, что потенциальное решение, асимптотически приближающее течение в ядре, не удовлетворяет граничным условиям на степке и на оси.

Помимо приосевых и пристенных пограничных слоев в случае двухъячеистого режима при больших числах Рейнольдса развивается внутренний пограничный слой на поверхности раздела (см. схему течения на рис. 49 выше кривой 2). На этой конической

Рис. 52.

Рис. 53.

поверхности нормальная компонента скорости равна нулю и реализуется течение типа вихреисточника. На плоскости параметров кривые, отвечающие для всех с ростом числа Рейнольдса приближаются к такой же асимптоте, что и кривая потери существования (на рис. 50 штриховая линия отражает результаты расчета для

Из характера распределения скорости при (рис. 53) ясна структура возникающего внутреннего пограничного слоя. С ростом числа Рейнольдса циркуляция в области стремится к пулю, а при к постоянному значению, равному циркуляции на плоскости На конусе асимптотически при формируется скачок циркуляции. Внутри конуса течение описывается зависимостью (2.14а) (графически неотличимо от результатов расчета на рис. 53) и подразделяется на потенциальное ядро и пограничный слой вблизи

В окрестности где сосредоточено изменение циркуляции, зависимость можно аппроксимировать линейной:

Используя это представление в уравнении (1) и интегрируя его с учетом граничных условий, получим

Эта зависимость также с графической точностью совпадает с распределением циркуляции на рис. 53. Чтобы вычислить (0), сохраняя лишь главный член асимптотического разложения, достаточно принять при при Тогда и уравнение для главного члена разложения получим в виде

Это уравнение, хотя и является аналогом уравнения (19), не переходит в иего непосредственно при поскольку — особая точка. При больших числах Рейнольдса в решении (20) можно выделить потенциальное ядро и два пограничных слоя — при и вблизи плоскости. Сопрягая, как и ранее, решение в пристенном пограничном слое с потенциальным, получим

Таким образом, асимптота отвечает той же степенной зависимости от что и для одиоячеистого режима. Формула (21) правильно отражает увеличение коэффициента пропорциональности при уменьшении но требует корректировки для близких к единице, поскольку реальный коэффициент но равен пулю, а остается конечным и при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление