Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ С ПЕРЕМЕННОЙ ВЯЗКОСТЬЮ

4.1. Постановка задачи

Вязкость может быть переменной в ламинарных течениях, например в поле температур, задаваемом независимо от движения жидкости. При этом легко представить себе ситуацию, когда вязкость заметно меняется при изменении температуры, а изменением плотности можно пренебречь, как это характерно для вынужденной конвекции воды. Именно такой подход будет принят в этом разделе, однако основная цель — моделирование турбулентных течений.

Модель турбулентной вязкости, введенная Буссинеском, хорошо себя зарекомендовала для описания свободных турбулентных течений, например осесимметричных струй [144]. Однако если для турбулентной струи Шлихтинга предположение о постоянстве турбулентной вязкости представляется естественным из-за узости области струи, то для течения, порожденного взаимодействием вихревой нити с плоскостью, вихревую вязкость более реально считать переменной — нулевой на плоскости и максимальной на оси. То же самое можно сказать, например, о течении, порожденном затопленной струей, вытекающей из отверстия в плоской стенке. Опытные данные [21, 256] свидетельствуют о том, что турбулентной является лишь узкая приосевая коническая зона, тогда как во внешней области турбулентность практически отсутствует.

Постановка задачи о конических вихревых течениях с переменной турбулентной вязкостью зависящей только от сферического угла содержится в работах Серрипа [236] и Ву [255]. В последней рассматривается автомодельный турбулентный вихрь с условиями прилипания на плоскости и регулярности на оси. В случае постоянной вязкости подобное движение невозможно. Для данного конического класса циркуляция удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка, допускающему лишь монотонно изменяющиеся решения, и является монотонной функций угла так что удовлетворить краевым условиям нельзя. Помимо того, хорошо известно [210], что для струи, вытекающей из точечного источника на плоскости, автомодельного решения, удовлетворяющего условиям прилипания на плоскости и регулярности на оси, не существует. Так, решение Сквайра [240]

условиям прилипания не удовлетворяет, хотя условие непротекания на плоскости выполнено.

Математически задача с условиями прилипания и аналитичночти сводится к однородной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с однородными краевыми условиями, число которых соответствует порядку системы. Тем самым требуется найти нетривиальное решение, да еще зависящее от произвольных парашетров, характеризующих интенсивность источника движения, такиж, как импульс струи, и тому подобных. Ву [255] пришел к выводу о том, что в случае переменной вязкости эта задача разрешима для широкого класса функций, представляющих турбулентную вязкость. Доказательство Ву относится к случаю, когда взаимодействие вихря с плоскостью вызывает нисходящий поток жидкости вдоль оси к плоскости и ее последующее радиальное растекание. Такое решение могло бы быть проинтерпретировано как турбулентная закрученная веерная струя, быощая радиально вдоль неподвижной: твердой плоскости из точечного источника, расположенного на зтой плоскости.

Однако в выкладки Ву вкралась ошибка, и он оперировал с неверными уравнениями. Если исходить из правильных уравнений, то результаты Ву не подтверждаются. Более того, удается доказать, что при условиях, принятых Ву, соответствующая однородная задача не имеет нетривиального решения. Вместе с тем здесь показано, что введение переменной вязкости позволяет нетривиально разрешить несколько иную однородную краевую задачу, возможно, моделирующую некоторые астрофизические явления, о кооторых шла речь в § 3.

Возвращаясь к струе Сквайра, напомним, что она становится предельно сильной при весьма умеренном значении обильности стока [37]. Физически перед кризисом естественно ожщать турбулизации струи с образованием конического ядра с повышенной турбулентной вязкостью. Исследование данной модели с кусочно-постоянной вязкостью обнаруживает неожиданное явление: бифуркацию самовращения струи, но только вместе с плостсосгыо, когда вращательные касательные напряжения на плоскости отсутствуют. В математическом плане нетривиально разрешимым «оказывается однородное уравнение для циркуляции с переменной вязкостью, когда поставлены однородные условия «слабого» самовращения:

Пусть рассматривается движение вязкой несжимаемой жидкости, принадлежащее классу с обязательной автомодельностью. Иными словами, источник движения характеризуется величиной имеющей размерность кинематической вязкости и задача не содержит какого-либо характерного размера. Тогда число Рейнольдса определяется отношением а поле течения имеет представление

сферические координаты; между положительной полуосью z и радиусом-вектором; азимутальный угол, от которого в осесимметричпом случае течение не зависит; время; вектор скорости; безразмерная векторная функция безразмерных аргументов.

Полные уравнения Навье — Стокса допускают решение вида (1), которое тем самым пригодно и для описания турбулентного режима в задачах с обязательной автомодельностыо. Запишем уравнения Рейнольдса в виде

где вектор скорости осредпештого турбулентного движения; — динамическая вязкость; — тензор пульсациоиных напряжений Рейнольдса. Турбулентная вязкость вводится соотношением Буссипеска:

Положим тогда уравнение движения может быть записано в векторной форме

В случае стационарного осесимметричного движения представление (1) может быть записано в форме, обеспечивающей автоматическое выполнение уравнения неразрывности:

Симметричный тензор имеет компоненты

Предполагая, что осреднение в (2) устраняет зависимость рейнольдсовых напряжений от согласно (1) и (5) можно записать значит, В таком случае вектор имеет единственную ненулевую компоненту:

Подстановка выписанных соотношений в (3) дает следующие уравнения:

Дальнейшие преобразования связаны с исключением величины из уравнений (6) и (7). Это удобно сделать не дифференцированием, а вычислением выражения правая часть которого, как выясняется, представляет полную производную. После соответствующих преобразований и интегрирования имеем

Заметим, что это соотношение может быть непосредственно получено из рассмотрения баланса осевой компоненты импульса для конического элементарного объема.

Для определения константы интегрирования С достаточно предположить, что ось принадлежит внутренности области течения. Тогда решение должно быть регулярным при и притом что следует непосредственно из (4). В таком случае сразу получается Исключение с использованием соотношения (6) дает уравнение

Для уравнений (8) и (9) можно ставить различные краевые условия, задавая, например, поле скорости типа вихреисточника на плоскости и условия аналитичности на оси

В такой постановке источником движения служат неоднородные граничные условия при Однако существует один выделенный случай, когда задача ставится в безграничной области, а движение вызывается источником импульса в начале координат. Это струя Ландау, для которой в случае решение, регулярное при выписывается аналитически и имеет вид Здесь постоянная интегрирования, которую можно связать с заданным импульсом струи. Таким образом, случай струи Ландау спектральный, когда существует нетривиальное решение с однородными условиями при Если аналогичную однородную задачу поставить в полупространстве то,

как уже отмечалось, при условиях прилипания на плоскости нетривиального решения не существует.

Казалось бы, можно предположить, что в случае переменной вязкости при однородных условиях (10), когда найдется такое распределение для которого нетривиальное решение существует. Функция ограничена и удовлетворяет следующим условиям:

Заметим, что достаточно доказать нетривиальную разрешимость уравнения (8) при однородных условиях Тогда при уравнение (9) становится неоднородным и вопрос о его тривиальном решении отпадает. В случае из (8) следует

откуда сразу же вытекает монотонность функции и невозможность нетривиального решения. Но при уравнение (8) содержит не под знаком производной и, следовательно, имеет «спектральный» вид. Однако это обстоятельство, оказывается, не меняет дела.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление