Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.2. Несуществование решений при условии прилипания

Ситуацию, когда уравнение (8) при однородных граничных условиях имеет нетривиальное решение, для краткости будем называть самовращепием. Докажем, что если то при любом регулярном уравнение (8) при условиях имеет лишь пулевое решение, т. е. самовращенне невозможно.

Преобразуем (8) тождественно к виду

Функция удовлетворяющая нулевым условиям, имеет одну или несколько экстремальных точек, где Рассмотрим ближайшую к правому концу точку такую что Без потери общности можно считать, что В противном случае следует заменить всюду на поскольку уравнения (12) и (9) инвариантны относительно такой замены. Ясно, что в рассматриваемых условиях на интервале функция монотонно убывает, оставаясь положительной. Проинтегрировав соотношение (12) в пределах от до х, получим

Исходя из условия аналитичности при имеем

Поскольку на интервале по предположению то правая часть (13) существенно положительна, поэтому выполнение условия невозможно. Ясно, что данный вывод сохраняет силу и для достаточно малых по модулю в частности, для движений при малых числах Рейнольдса, когда последний член в правой части (12), представляющий инерционные силы, отбрасывается.

По смыслу доказательства фактически установлено, что при опускном режиме течения функция не может иметь максимума, что исключает не только сильное по и «слабое» самовращение. Поэтому естественно попытаться обнаружить самовращение в подъемном режиме, порожденном струей, бьющей из отверстия в стенке, для которой При этом задачу о сильном самовращении физически целесообразно ставить лишь при условиях прилипания на плоскости Так как самовращение можно ожидать только при достаточно большой интенсивности струи, то прежде всего необходимо выяснить, возможна ли в случае переменной вязкости автомодельная невращающаяся струя, удовлетворяющая условиям прилипания на плоскости.

Казалось бы, исходя из уравнения (9), при всегда можно найти функцию задав произвольное распределение удовлетворяющее всем необходимым условиям. Здесь, однако, есть затруднение, состоящее в том, что коэффициент при в уравнении (9) обязательно обращается в нуль в некоторой внутренней точке интервала (0,1). В самом деле, квадратная скобка представляет собой полную производную:

Поскольку функция в силу условий прилипания и аналитичности обращается в пуль на концах, то обращается в нуль внутри интервала.

Докажем, что при условиях уравнение (9) при не имеет нетривиального решения, удовлетворяющего условиям Равенство навеяно физическими соображениями и принято лишь для упрощения доказательства. Введем переменную Тогда уравнение (9) можно записать в форме

Проще всего в правильности соотношения (14) убедиться прямой проверкой. Дифференцирование (14) по и деление на

дает соотношение

Заметим, что уравнение (15) можно непосредственно получить из (6) и (7) путем исключения после дифференцирования (6). Поскольку уравнение (9) все равно необходимо для дальнейшего, избранный путь является более простым. Для последующих рассуждений положим в Проинтегрировав (15) в пределах от до х, получим

Для определения постоянной следует учесть, что в силу условий прилипания Однако согласно поскольку так что Отсюда следует Дальнейшее интегрирование приводит к равенству

Величина определяется согласно условиям для

Наконец, последнее интегрирование дает

Воспользовавшись формулой

окончательно получим

Поскольку для выполнения неравенства необходимо, чтобы причем недопустимо так как тогда согласно В соответствии с Последнее неравенство позволяет утверждать, что всюду В самом деле, при Предположение о том, что найдется для которого противоречит равенству (17), так как его правая часть при существенно положительна. Следовательно, а это несовместимо с условием

требованием ограниченности согласно которым должно быть

Таким образом, и в случае переменной вязкости незакрученная струя, вытекающая из отверстия в стенке, не может удовлетворить условиям прилипания, оставаясь автомодельной. Тем самым возникновение сильного самовращения в результате бифуркации от незакрученного режима исключено для восходящего течения. Отказ от условий прилипания на плоскости, точнее от условия неподвижности плоскости, позволяет поставить задачу о слабом самовращении автомодельной турбулентной струи.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление