Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. ПРИМЕРЫ ИЗВЕСТНЫХ ПАРАДОКСОВ

3.1. Парадокс Стокса

Исторически первым и наиболее известным примером вязкого парадокса является парадокс Стокса. Он касается проблемы медленного обтекания тел. Поскольку уравнения движения (1.1) содержат наряду с линейными квадратичные члены, то, казалось бы, всегда можно рассмотреть столь медленное или, как говорят, ползущее движение жидкости, что квадратичные члены допустимо отбросить и рассматривать линейную задачу

Уравнения (1) применяются в гидродинамике. Благодаря их линейности удается построить решения для многочисленных задач, образующих наиболее далеко продвинутый раздел теоретической гидромеханики [136]. Однако уже задача обтекания тела однородным потоком обнаруживает такие свойства линеаризованных уравнений (1), которые свидетельствуют о незаконности предприиятохг линеаризации даже при сколь угодно малых числах Рейнольдса. Оказывается, что вдали от тела отброшенные члены перестают быть малыми по сравнению с оставленными и, хотя они все исчезают на бесконечности, эта погрешность приводит к разнообразным парадоксам, например к неразрешимости плоских задач для системы (1).

С этим парадоксом столкнулся еще основоположник гидродинамики вязкой жидкости Дж. Стоке, который решил задачу медленного обтекания шара единичного радиуса однородным потоком, заданным скоростью на бесконечности имеющей горизонтальное направление. Для стационарного осесимметричного движения систему (1) при можно записать в виде одного бигармонического уравнения для функции тока (1.13) в сферической системе координат

Граничные условия прилипания на поверхности шара при имеют вид

На бесконечности ставится условие

Решение уравнения (2) с условиями (3) и (4) нетрудно отыскать в форме

Это знаменитое решение Стокса, подробное обсуждение которого приводится во всех курсах гидродинамики.

Теперь рассмотрим плоскую задачу обтекания цилиндра. Для функции тока, введенной соотношениями (1.10), также получается бигармоническое уравнение

Условия (3) сохраняются, а условие (4) приобретает вид

Решение уравнения, удовлетворяющее условиям (3), можно записать в виде

где произвольные постоянные. Непосредственно видно, что их выбором невозможно удовлетворить условию (6). Таким образом, задача обтекания цилиндра в стоксовском приближении решения имеет. Это и составляет содержание парадокса Стокса. Сам Дж. Стоке [242] считал отсутствие стационарного решения признаком увлечения движущимся цилиндром всей безграничной массы жидкости. В определенном смысле близкое явление имеет место при решении задачи теплопроводности.

Пусть дан шар радиуса а с температурой поверхности температура на бесконечности составляет Найти температурное поле. В рассматриваемом одномерном случае уравнение теплопроводности имеет решение, удовлетворяющее всем условиям Аналогичная задача для круга (или бесконечного цилиндра) описывается уравнением решение которого В не ограничено при если Таким образом, бесконечный цилиндр в отличие от шара (или конечного цилиндра) за бесконечное время прогревает все пространство. Этот вывод подтверждается решением нестационарной задачи. оправдывается тем физическим соображением, что бесконечных цилиндров не бывает.

Однако объяснение Дж. Стокса но аналогии не является верным. Как теперь установлено [84, 134], плоская задача обтекания цилиндра в нелинейной постановке разрешима при любых числах Рейнольдса и это решение удовлетворяет условию (6). Дефект, как указывалось, заключается в линеаризации и проявляется при рассмотрении течений в бесконечных областях.

Любопытные разультаты получаются в плоской задаче при расположении источников движения не на бесконечности, как в задаче обтекания, а на конечном расстоянии от тела. Рассмотрим, например, обтекание круга единичного радиуса потоком от вихря интенсивности расположенного в точке вне круга. На наш взгляд, решение этой задачи довольно поучительно. Здесь движение описывается также бигармоническим уравнением с условиями прилипания. Для решения задачи воспользуемся комплексным представлением бигармонической функции [83]. Вихрь создает движение с комплексным потенциалом Поскольку для комплексной скорости имеем

где чертой сверху обозначена операция комплексного сопряжения. Будем искать решение в виде Вязкая добавка к скорости соответствует функции тока Согласно [83] имеем

где искомые аналитические функции комплексного переменного На границе круга С, где поэтому а так как

Поскольку на единичной окружности и так как функция комплексного переменного аналитическая внутри круга, то по теореме Коши вне круга имеет место равенство [83] С учетом этого из (8) получаем с

Пользуясь разложением в ряд Лорана сходящимся при нетрудно доказать, что последний интеграл равен нулю, тогда как второй интеграл по формуле Коши есть

Следовательно,

С помощью (10) можно определить граничные значения функции тогда с использованием (8) найдутся граничные значения Это позволяет восстановить функцию Соответствующие вычисления дают

Теперь, используя (9), на основании (10) и (11) нетрудно найти

где и принято что не умаляет общности. Далее имеем

Собирая полученные результаты, для скорости V находим

Или окончательно

где принято в соответствии с условием При из (13) получаем Пусть, например, тогда Следовательно, на бесконечности вырабатывается вполне определенная скорость, направленная против потока, порожденного циркуляцией вихря.

Найденное решение позволяет определить момент вязких сил, действующих на окружность С. Соответствующие вычисления показывают, что этот момент равен нулю. Таким образом, в рамках теории ползущих движений нельзя объяснить вращение свободного цилиндра в неоднородном потоке, которое наблюдается на опыте и обсуждается в разд. 5.

Возвращаясь к классическому парадоксу Стокса, необходимо отметить, что, хотя решение (5) удовлетворяет всем условиям задачи, оно является равномерно пригодным во всей области течения. Как показал Озеен [219], отношение отброшенных

конвективных членов к вязким имеет порядок произведения и при становится сколь угодно большим. Еще более серьезные трудности возникают при попытке уточнить решение Стокса путем его подстановки в конвективные члены и решения неоднородной задачи. Полные уравнения Навье — Стокса (1.11) с помощью определения (2) можно записать в виде

где А — оператор, определенный формулой (2). Подстановка в правую часть (14) решения (5) приводит к уравнению А Решение с минимальной особенностью на бесконечности, удовлетворяющее условиям прилипания (3), имеет вид

Однако оно не удовлетворяет условию (4) и, следовательно, не является решением задачи. Несуществование решения задачи Стокса во втором приближении составляет содержание парадокса Уайт-хеда [219].

Преодоление парадоксов Стокса и Уайтхеда на физическом уровне осуществлено Озееном [219] и заключается в частичном учете конвективных членов. Если положить то стационарные уравнения (1.1) примут вид

При получается линеаризация Озеена. Решения Озеепа и их высшие приближения существуют как для пространственных задач, так и для плоских. Строгое разрешение проблем, связанных с парадоксом Стокса, получено в работах [134, 238].

Таким образом, парадокс Стокса связан с переупрощением постановки задачи в бесконечпой области. Уравнения Навье — Стокса не допускают линеаризации даже для сколь угодно медленных течений. Дело в том, что значение является точкой спектра уравнения (14), в котором функция в круглых скобках «заморожена», например, в виде стоксовского приближения. В этом случае учет сколь угодно слабой нелинейности радикально меняет ситуацию: плоская нелинейная задача обтекания становится разрешимой.

Вместе с тем проблема обтекания тел вязким потоком и в нелинейной постановке имеет одну парадоксальную особенность. Как показал Р. Финн [173], кинетическая энергия возмущенного движения оказывается бесконечной независимо от размерности задачи. Физически такой вывод означает, что при наличии сопротивления за бесконечное время должна накопиться бесконечная кинетическая энергия Этот вывод

нетривиален, поскольку относится только к бесконечной области. Он связан с тем, что скорость возмущений убывает лишь как При более быстром затухании энергия может быть конечной, несмотря на бесконечно большую затраченную работу. Просто она почти вся диссипирует в тепло, которое в рамках модели (1.1) на гидродинамику не влияет. Заметим, что ситуация с поразительно противоположна случаю потенциального обтекания тела, когда величина не только оказывается конечной, но и обладает свойством минимальности. Стоит также отметить, что учет сжимаемости снимает парадоксы Стокса и Уайтхеда [191].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление