Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. АВТОМОДЕЛЬНАЯ ТЕПЛОВАЯ КОНВЕКЦИЯ

5.1. Конические свободноконвективные течения

Для уравнений Буссинеска, описывающих термогравитационную конвекцию, точных решений практически нет. Исключение составляет течение между параллельными вертикальными поверхностями, имеющими различные температуры [28]. В этом случае уравнение теплопроводности отщепляется от общей системы Буссинеска, а уравнения движения линейны, поэтому решение, будучи

слишком элементарным, не отражает нетривиальных эффектов взаимодействия вязких, инерционных и тепловых механизмов переноса, потенциально заложенных в уравнениях конвекции.

Довольно большое число задач естественной конвекции допускают полуаналитические решения, когда они сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям в рамках теории пограничного слоя [52] и теории сращиваемых асимптотических разложений [95]. Здесь приводятся автомодельные решения полных уравнении Буссинеска в классе конически симметричных полей скорости и температуры. Такие распределения имеют особенность в начале координат, которая может моделировать источник импульса, как, например, в классической задаче Ландау о струе вязкой жидкости [86], и тепла [113].

В реальных условиях, когда источники имеют конечные размеры, автомодельные решения могут претендовать на асимптотическое представление полей скорости и температуры на расстояниях, больших по сравнению с размерами источников. При этом ключевую роль играют интегралы сохранения импульса и тепла. Если тепловые процессы не сказываются на движении жидкости, как это предполагается при решении тепловой задачи для затопленной струи в гл. 4, то определяющими асимптотическое поведение величинами являются потоки как импульса, так и тепла. В случае естественной конвекции архимедовы силы создают распределенный источник импульса. В этих условиях импульс, вытекающий из особой точки, не сохраняется и единственной величиной, определяющей поведение решения вдали от источника, остается поток тепла.

В связи с этим, как будет показано далее, автомодельного решения полных уравнений Буссинеска, когда особая точка является источником как импульса, так и тепла, не существует. В противовес этому в приближении пограничного слоя иногда строятся решения, когда даны оба интеграла сохранения [234]. Задача о конвекции вблизи точечного источника тепла («факел») рассматривалась рядом исследователей [257, 175, 208]. Условие сохранения потока тепла приводит к обратно пропорциональной зависимости температуры от расстояния до источника. Скорость на оси факела в приближении пограничного слоя не зависит от расстояния. Задача, когда струя порождается точечным источником импульса и имеет температуру, отличную от температуры окружающей среды, не имеет автомодельного решения и в приближении пограничного слоя. Приближенное решение находят методом возмущений, когда эффекты плавучести считаются малыми [234].

Для существования конически симметричного решения уравнений Буссинеска необходимо, чтобы архимедова сила была обратно пропорциональна кубу расстояния. Здесь описаны три задачи, когда реализуется требуемая зависимость.

В первой рассматривается особенность поля температур в

начале координат типа квадруполя, а не источника. Это приводит к тому, что на любой сферической поверхности поле температур имеет знакопеременный характер. Ситуация, когда температура вершины выше, а основания ниже температуры окружающей среды, условно называется «вулкан», а противоположная - «ледник». Эти названия подразумевают, что соответствующие автомодельные решения могут служить простейшими моделями конвекции вблизи подобных объектов. Обнаружено, что в случае вулкана при больших числах Грасгофа конвекция имеет двухъячеистую структуру, а с уменьшением числа Прандтля до нуля образуется сильная приосевая струя, и решение перестает существовать.

Во второй задаче рассматривается тепловой источник, но предполагается, что зависимость плотности от температуры имеет аномальных! характер. Тепловая аномалия характерна, в частности, для воды, и такая задача моделирует конвекцию вблизи горячих источников на дне океана, иногда называемых «черными курильщиками».

Наконец, в третьем случае автомодельность решения достигается за счет того, что ускорение силы тяжести принимается обратно пропорциональным квадрату расстояния. Такая ситуация возникает вблизи горячего массивного объекта, условно называемого «звездой», погруженного в вязкую несжимаемую среду. Здесь возможен копдуктивный режим теплообмена, когда среда покоится, но он неустойчив, если число Рэлея превышает критическое значение. Критическая величина, характер бифуркации и асимптотическое поведение определяются аналитически. Возникающие конвективные движения конечной интенсивности рассчитаны численно. В закритической области существуют два устойчивых в малом режиме, в одном жидкость подтекает к центру вблизи экваториальной плоскости и удаляется вблизи полюса, в другом режиме движение носит обратный характер.

Во всех трех задачах проявляется типичный для конически симметричных течений вязкой жидкости эффект: когда число Грасгофа превышает определенное критическое значение, решение перестает существовать. Кризису предшествует формирование сильной приосевой струи, а в критической ситуации скорость на оси обращается в бесконечность. Однако это происходит лишь при нулевом значении числа Прандтля, когда поле температур не зависит от движения среды. Если то конвекция приводит к концентрации тепла и, следовательно, архимедовых сил в приосевохт области, что ослабляет действие последних и предотвращает кризис. Если в первых двух задачах случай мало интересен с физической точки зрения, то вблиз» звезды может преобладать лучистый теплообмен, т. е. эффективное число Прандтля достаточно мало. В этих условиях термическая конвекция может приводить к интенсивным восходящим течениям в полярной области и формировать дальнобойные струйные потоки.

Структура дальнейшего изложения такова. Сначала для класса конически симметричных течений проведем редукцию уравнений Буссинеска к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, а затем сообщим результаты аналитического и численного исследования трех перечисленных задач.

Рассматривается простейшая система уравнений, описывающая термогравитациопную конвекцию. Коэффициенты переноса принимаются независящими от температуры, а изменение плотности за счет теплового расширения учитывается только через архимедову силу где ускорение силы тяжести. В сферической системе координат эта система состоит из уравнений (1.1.11) с добавлением в правую часть силы и уравнения теплопроводности:

Здесь температура; коэффициент температуропроводности. Предполагается, что азимутальная компонента архимедовой силы равна нулю.

В конически симметричном классе стационарных автомодельных решений поля скорости, давления и архимедовых сил имеют следующее представление:

(индекс соответствует значениям на бесконечности). Уравнение теплопроводности при этом допускает решения вида

где любое целое число. Здесь используются два значения: для теплового квадруполя и для источника. Подставляя выражения (2), (3) в систему (1), (1.1.11), обозначая штрихом дифференцирование по х, а индексом дифференцирование по получим

Здесь число Прандтля. В осесимметричном случае из последнего уравнения (4), являющегося автомодельной формой уравнения неразрывности, следует а связана с функцией тока Стокса соотношением Тогда система (4) принимает более простую форму:

После исключепия давления из первых двух уравнений получим

Последнее равенство, определяющее скалярную функцию введено, чтобы, следуя методике [37], трижды проинтегрировать уравнение (6). Принимая для граничные условия и учитывая, что в силу отсутствия особенностей на оси имеем

где С — константа интегрирования. Если архимедова сила направлена по вертикали (вдоль оси то следовательно,

Полезно представить решение уравнения (8) в форме квадратуры:

Теперь рассмотрим конкретные задачи.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление