Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.2. Задача о вулкане

Из определения архимедовой силы и приближения Обербека — Буссинеска

следует, что для существования автомодельного решения из конически симметричного класса поле температур должно иметь представление (3) с В этом случае уравнение теплопроводности (5) при имеет решение

отвечающее знакопеременному распределению температуры по углу . Суммарный поток тепла через сферу любого радиуса при этом равен нулю. Распределение симметрично относительно плоскости

Рассмотрим полупространство На поверхности потребуем выполнения условий прилипания:

Тепловой квадруполь можно представить в виде бесконечно малой полусферы, вершина которой имеет температуру выше, чем у окружающей среды, а основание — ниже. Такая ситуация условно будет называться «вулкан». В какой-то степени близкий случай был экспериментально изучен Торрансом [249], когда на дне цилиндрической банки помещался в центре источник тепла, а по высоте создавалась устойчивая стратификация.

В задаче о вулкане температура на плоскости отрицательна. Полагая для определенности (см. (11)), интенсивность квадруполя будем задавать величиной в представлении (3) или величиной критерия Грасгофа При этом в ситуации «вулкан» положительны, а в противоположной ситуации («ледник») отрицательные. Для данного случая величина входящая в формулы (8), (9), равна

В силу граничных условий на плоскости из уравнения (7) следует Полагая в выражении имеем

Поэтому задача приводится к системе уравнений

с граничными условиями на оси Последние два условия вытекают из требования регулярности решения. На плоскости необходимо выполнить два условия: При этом второе условие (12) будет удовлетворено автоматически.

Поскольку особая точка системы уравнений (13), величины и (1) не могут быть определены непосредственно из уравнений без дополнительных выкладок. Дифференцируя уравнение теплопроводности и полагая получим

а в результате двукратного дифференцирования первого из уравнений (13), имеем откуда выражается через и Величина остается свободным параметром.

При численном расчете целесообразно интегрировать систему (13) от до чтобы регулярно выйти из особой точки и использовать преобладание числа граничных условий при Задание пробных значений и сводит исходную краевую задачу к задаче Коши. Величина подбирается так, чтобы в результате интегрирования После этого проводится перенормировка и получается решение исходной задачи.

Некоторые свойства решения могут быть изучены аналитически. Рассмотрим случай, когда Подставляя решение (11) во второе уравнение (13), находим откуда после трехкратного интегрирования с учетом граничных условий Подстановка полученного выражения в первое уравнение (13) дает

или после замены переменной

Функция определена с точностью до постоянного множителя. Примем кроме того, в силу условия имеем Решение уравнения (15) при этих граничных условиях является функцией Эйри [124], имеющей представление в виде всюду сходящегося ряда:

Для регулярности функция не должна иметь нулей на интервале При функция положительна при всех поэтому задача о леднике разрешима при любой интенсивности квадруполя. Поскольку и при то во всей области течения как следует из представления (2), Это означает, что поток направлен вблизи оси вниз и далее растекается на плоскости от начала координат (рис. 61, ниже штриховой линии).

Выясним асимптотические свойства решения при Пренебрегая в уравнении (14) линейными членами в левой части, получим внешнее решение Величина обращается в бесконечность при что соответствует бесконечной продольной скорости на плоскости. С учетом влияния вязкости вблизи плоскости развивается пограничный слой.

Линеаризованное относительно у уравнение (14) имеет решение которое применимо при малых числах Грасгофа во всей области течения, а при больших — в малой окрестности стенки. Функции совпадают на стенке

Рис. 62.

Рис. 61.

и в точке в окрестности стенки. Величина дает представление о толщине пограничного слоя, а величина характеризует оценку сверху для максимального значения продольной скорости. Отсюда следует, что с ростом модуля числа Грасгофа около плоскости формируется мощная струя. Однако и внешнее течение, порожденное архимедовыми силами и асимптотически не зависящее от вязкости, увеличивает свою интенсивность пропорционально корню квадратному из квадрупольного момента.

При и больших по модулю значениях числа Грасгофа преобладание конвективного механизма переноса тепла приводит к тому, что область, где температура положительна, уменьшается до тонкого пристенного слоя ширины Результаты расчетов на рис. 62 для большей наглядности представлены в цилиндрических координатах

Сплошные линии соответствуют распределению по высоте горизонтальной скорости штриховые — распределению температуры кривые 1 отвечают значениям

Подытояшвая анализ случая можно сказать, что от «ледника» дует сильный холодный ветер вдоль поверхности. Это вполне соответствует интуитивно ожидаемому результату на основе физических соображений.

Задача о вулкане богаче неожиданностями. Сначала вновь рассмотрим случай Поскольку теперь решения уравнения (15) при положительных х зиакопеременны. Если корень находится внутри интервала то имеет полюс. В соответствии с видом уравнения (15) и теоремой Штурма нуля

чередуются; в силу условий первым с увеличением х расположен нуль и поскольку функция убывает от 1 до 0, производная отрицательна. Положение первого нуля можно определить, используя ряд

Оборвем разложение на первых двух членах. В этом случае положение корня Если сохранить три первых члена, то ближайший к нулю корень . Поскольку при знаки членов ряда чередуются, то полученные значения являются нижней и верхней оценками корня

Возвращаясь к переменной х, находим, что положение первого корня при достаточно малых числах Грасгофа находится вне интервала но достигает значения 1 при Из полученной оценки для 11 следует Таким образом, при решение заведомо существует, а при решения без особенностей заведомо нет. Численные расчеты дают более точное значение , что соответствует

Выясним, что происходит с течением при приближении к своему критическому значению. Поскольку в докритической ситуации на всем интервале (0,1), находим, что Это означает, что поток направлен вдоль плоскости к началу координат и далее вдоль оси вверх (см. рис. 61, между штриховой и штрихпунктирной линиями).

С приближением значения корень в точке и полюс сближаются. При этом величина следовательно, растет до бесконечности продольная скорость на оси. Таким образом, вблизи оси развивается сильная струя. В критической ситуации импульс струи обращается в бесконечность.

Поскольку вблизи имеет место представление то, когда достигает единицы, Следовательно, в критической ситуации величина становится отличной от пуля, но конечной: Это означает, что, хотя струя становится бесконечно сильной, ее эжектирующая способность остается конечной и на оси формируется сток с объемным расходом на единицу длины, равным

В околокритической ситуации можно ввести малый параметр и новую переменную Тогда главным членом внутреннего асимптотического разложения по является решение описывающее приосевую струю и совпадающее с решением Шлихтинга для круглой струи в приближении пограничного слоя [144].

При решение поставленной задачи формально перестает существовать. Чтобы восстановить существование решения, необходимо так или иначе ослабить идеализацию. В данном случае для этого достаточно отказаться от схемы идеально

Рис. 63.

Рис. 64.

теплопроводной среды, т. е. считать Если решение существует при как свидетельствуют численные расчеты, которые проводились вплоть до значений

Возникает вопрос, что происходит при Когда решение непрерывным образом переходит в полученное при Чтобы выяснить характер предельного перехода при рассмотрим семейство решений, у которых величина Такому семейству отвечает некоторая кривая на плоскости (см. рис. 61; ). С увеличением аналогичные кривые располагаются все ближе к оси а при имеют пределом полуось При этом максимальное значение стремится к 4, положение максимума к что иллюстрирует последовательность профилей на рис. Физически это означает, что с уменьшением числа Прандтля вблизи оси снова формируется струя Шлихтинга, которая интенсифицируется и вырождается в сток, как и при Однако предельное распределение имеет совсем другой характер, чем при В последнем случае а на рис. 61 предельная функция знакопеременна.

Еще более неожиданными являются результаты предельного перехода для профиля температуры (рис. 64). С уменьшением распределение температуры отнюдь не стремится к т. е. к аналитическому решению уравнения теплопроводности при (кривая 1). С уменьшением величина значительно превышает 2 и возрастает, судя по данным расчета, неограниченно.

Чтобы попять, почему так происходит, обратимся к уравнению теплопроводности (13). Его правая часть для любого значения стремится к нулю при Случай является особым, поскольку , причем в пределе приобретает особенность типа дельта-функции, коэффициент при которой равен 4. Величина имеет в уравнении (13) множитель Если бы в пределе оставалась ограниченной, то коэффициент при

дельта-функции обращался бы в нуль, и она не приводила бы к отличию предельного решения от но это противоречит численным результатам. Остается допустить, что при Выясним теперь, принадлежит ли предельное распределение к классу решений уравнения теплопроводности при если спять требование аналитичности. Общее решение имеет вид

Из условия следует

Коэффициент А при решении с логарифмической особенностью подлежит определению. В результате подстановки (17) во второе уравнение (13) и интегрирования находим

От условия приходится отказаться, сохранив его для аналитической части Для неаналитической части вместо этого выполняется условие симметрии относительно точки Учитывая, что и подставляя полученные выражения в первое уравнение (13), имеем

Это уравнение нужно интегрировать при граничных условиях После однократного дифференцирования (18) и подстановки находим, что Интегрируя (18) от до определяем Величину А следует подобрать так, чтобы Рассчитанная таким образом зависимость представлена на рис. 65. Нижняя ветвь соответствует предельным решениям при Сопоставление решения (17), в котором величина А выбрана по указанному алгоритму, и допредельного решения при проведенного при показывает, что на рис. 64 они графически неразличимы.

На рис. 65 видно, что при достаточно больших числах Грасгофа не существует и решения с логарифмической особенностью. По-видимому, предельный переход при приводит к особенности в распределении температуры более сильной, чем логарифмическая. Кривая, отвечающая зависимости на рис. 65, ограничивает область существования решений при другой задачи, в которой наряду с квадруполем в начале координат априори дана логарифмическая особенность Для поля температур на оси симметрии.

Рис. 65.

шения, удовлетворяющие условиям существуют в области левее кривой на рис. 65.

Каковы физические причины возникновения в задаче о квадруполе особенности в распределении температуры при стремлении числа Прандтля к нулю? Казалось бы, с уменьшением падает относительное значение конвекции тепла и должен преобладать кондуктивный теплообмен, обычно сглаживающий все особенности. Парадоксальность ситуации в данном случае состоит в том, что с уменьшением скорости вблизи оси возрастают, и в пределе формируется сток. Поэтому в малой окрестности оси конвекция преобладает даже при сколь угодно малом значении Развитие особенности обеспечивается положительной обратной связью между переносом импульса и тепла. Увеличение скорости струи повышает эжекцию и связанный с ней конвективный перепое тепла к оси. Накопление тепла у оси приводит к возрастанию там архимедовой силы и, следовательно, скорости струи.

Еще одно интересное явление, возникающее в задаче о квадруполе, — отрыв течения в пристенной области при достаточно больших числах Грасгофа. Величина трения на поверхности может быть определена посредством дифференцирования первого уравнения (13) и подстановки В результате

Распределение давления на поверхности, как следует из (2) и (5), выражается через третью производную: которая определяется так же, как из (13), При в случае аналитического поля температур Другими словами, давление на плоскости постоянно и равно давлению на бесконечности, трение, естественно, меняет знак вместе с числом Грасгофа, но в каждой из областей знакоопределенно.

В случае логарифмически особого распределения температуры, обратившись к уравнению (18), найдем При коэффициент А положителен (см. рис. 63), поэтому давление на плоскости превышает давление на бесконечности и возрастает с приближением к началу координат. Это тормозит текущий вдоль стенки к началу координат поток и приводит к отрыву при в результате которого трепие и скорость вблизи поверхности меняют знак. Отрыв происходит при числе Грасгофа

Когда условие для трыва еще благоприятнее. Простыми, но громоздкими вычислениями можно показать, что в окрестности осей Следовательно, неблагоприятный градиент давления для восходящего однояченстого решения возникает уже при сколь угодно малых причем при фиксированном значении его величина растет с увеличением Поэтому следует ожидать, что число Грасгофа при котором происходит отрыв, будет убывать с ростом

что подтверждают численные расчеты (см. штрихпуиктнрную линию на рис. 61). При но величина в пределе остается ограниченной. Для ее определения достаточно рассмотреть ползущие движения, линеаризовав по у первое уравнение (13), но сохранив конвективные члены в уравнении теплопроводности. После подстановки становится очевидным, что решение существенно зависит только от одного критерия Рэлея Численные расчеты свидетельствуют, что

При конвективное течение становится двухъячеистым. Поток направлен к началу координат вдоль определенной конической поверхности, а затем разделяется на два рукава, один из которых формирует приосевую струю, а другой пристенную (см. схему выше штрихпунктирной линии на рис. 61). Интерпретируя структуру решения при больших можно сказать, что тепло вершины вулкана уносится вверх струей, а вдоль поверхности, как и в случае ледника, дует прохладный ветер.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление