Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.3. Конвекция в среде с тепловой аномалией

Несмотря на предложенную физическую интерпретацию рассмотренной задачи, определенную неудовлетворенность вызывает присущее квадруполю свойство равенства нулю теплового потока. Более общей является ситуация, когда объекты, моделируемые точечной особенностью, являются источниками тепла. Здесь мы исследуем именно такой случай, а требуемый для автомодельности закон убывания архимедовой силы выполним за счет введения специальной зависимости плотности от температуры. Вообще говоря, эту зависимость можно представить рядом

Обычное приближение состоит в обрыве этого ряда при сохранении первых двух членов, что приводит к зависимости (10). Однако некоторые вещества обладают так называемой тепловой аномалией, когда функция имеет локальный максимум. В частности, так ведет себя вода при атмосферном давлении. Ее плотность имеет максимум при [110]. В точке максимума и зависимость плотности от температуры в ее окрестности квадратична. Тепловая аномалия наблюдается в определенном интервале значений давления. С ростом давления температура максимума понижается, но при этом падает и температура замерзания, и поэтому аномалия проявляется по-прежнему в жидкой фазе. Интервал температур, в котором имеет аномальный характер, т. е. плотность растет с увеличением температуры, невелик. Он ограничен положениями минимума и максимума функции

При некотором давлении максимум и минимум совпадают. Для воды это происходит при

В этом случае и перепад плотности в окрестности такой точки пропорционален кубу разности температур,

Далее будет использоваться именно эта зависимость для моделирования конвекции вблизи горячих источников на дне водоемов [184]. Такие источники наблюдаются в районах рифтовых трещин в океанах. Температура окружающей воды в придонных областях мала и близка к области тепловой аномалии.

Однако формулу (19) можно в рамках определенных ограничений использовать и в том случае, когда зависимость плотности от температуры имеет обычный характер. Соотношение (19) по сравнению с (10) обеспечивает более быстрое приближение плотности к своему значению на бесконечности с удалением от источника. Обе зависимости, как и приближение Буссннеска в целом, непригодны и для непосредственной окрестности начала координат, поскольку там перепады температуры становятся сколь угодно большими. Тем не менее может существовать довольно протяженная область, где температуры не слишком велики, так что приемлемо приближение Буссинеска, но еще заметно отличаются от температуры окружающей среды.

Например, в термоконвективиых струях от горячих источников на дне океана, называемых иногда «черными курильщиками», температура достигает нескольких сотен градусов Цельсия [92]. В этом промежуточном диапазоне температур зависимость (19) может быть использована для аппроксимации с не меньшим успехом, чем (10). Поэтому можно рассчитывать на то, что применение соотношения (19) для получения автомодельного решения не приведет к качественному искажению свойств течения и, более того, может обеспечить приемлемое количественное приближение.

Используя представление для поля температуры

и соотношение (19), находим, что Тогда из уравнения (6) следует

где введено вспомогательное число Грасгофа

Уравнение теплопроводности (см. (5), для данного случая может быть записано в виде и один раз проинтегрировано: Константа интегрирования равна нулю в силу требования регулярности полей скорости и температуры на оси плоскости ставятся условия прилипания и задается температура:

Правую часть уравнения (21) удобно представить в виде в результате чего приходим к системе уравнений

Для регулярности у на оси следует принять Вообще говоря, правую часть первого уравнения (22) следовало бы дополнить членом (см. (7)), но в силу условий прилипания Тепловой поток через стенку в силу уравнения теплопроводности и условия непротекания равен нулю. Поэтому тепловой поток через любую полусферу с центром в начале координат один и тот же:

Здесь коэффициент теплопроводности.

Определим число Грасгофа через величину теплового потока: Оно связано с соотношением При численном решении задавались пробные значения и и система (22) интегрировалась как задача Коши, при этом Далее, как и в предыдущей задаче, величина подбиралась так, чтобы При этом будет равно нулю в силу первого уравнения (22). Далее проводится перенормировка, вычисляется и определяется величина

Поскольку система (22) в отличие от (13) четвертого, а не шестого порядка, она допускает более детальное исследование аналитическими средствами, которое излагается дальше, предваряя результаты численных расчетов. Используя подстановку преобразуем первое уравнение (22) к виду

С другой стороны, выражается через у посредством квадратуры

Отсюда следует, что Не теряя общности, в силу граничных условий для у, можно положить Если (что соответствует не источнику, а стоку тепла), то в силу уравнения и граничных условий при Следовательно, при Это означает, что

жидкость вблизи оси течет вниз, а затем растекается по плоскости. Такое решение существует при всех

Действительно, из неравенства вытекает

Из общих теорем и ограниченности решения следует его существование. Продолжив оценки еще на один шаг, получим Таким образом, с ростом и вблизи стенки возникает пограничный слой, вне которого температура практически совпадает с температурой на бесконечности. Физически это объясняется тем, что преобладает конвективный перенос и все тепло источника уносит пристенная веерная струя. При пренебрегая линейными членами в левой части первого уравнения (1), получим внешнее решение Поскольку имеет корневую особенность при Это означает, что радиальная скорость стремится к бесконечности с приближением к плоскости.

В результате влияния вязкости и условий прилипания возникает пограничный слой. При поскольку а линеаризованное относительно у уравнение имеет решение пригодное при малых во всей области, а при больших — в окрестности стенки. Из сопряжения решений вытекает, что толщина пограничного слоя а максимальная скорость —

Вычислив найдем в соответствии с Таким образом, деление на стенке падает с удалением от начала координат. Поскольку действует благоприятный градиент давления, отрыва при увеличении не происходит. Потеря импульса за счет трения о поверхность компенсируется конвективным потоком импульса, создаваемого нисходящим течением холодной жидкости. При ситуация качественно не меняется. Физический итог этого анализа весьма просто и может быть сформулирован так: вдоль поверхности дует сильный холодный ветер. Однако результаты, как и в предыдущей задаче, менее тривиальны для источника тепла.

При по-прежнему но теперь решения (23), вообще говоря, осциллируют при причем нули и простые и чередуются. Для того чтобы решение было неособым, не должна иметь нулей на интервале (0,1). Пусть первый нуль Тогда в силу уравнения и граничных условий при значит, Таким образом, если решение существует, то оно соответствует сходящемуся течению около плоскости и восходящей приосевой струе.

Поскольку из соотношения (24) следует и, следовательно, Равенство отвечает случаю При этом уравнение (23) принимает вид

Согласно теоремам сравнения поэтому Оценим величину Уравнение (25) приводится к интегральному:

В критической ситуации кроме того, поскольку функция убывающая и выпуклая, Подставляя в уравнение и используя перечисленные свойства, получим после вычисления соответствующих интегралов

Таким образом, при решение задачи заведомо существует, а при и любом регулярное решение поставленной краевой задачи заведомо отсутствует. Численный расчет дает

Выясним, что происходит с решением при приближении к границе существования. Поскольку при величина С другой стороны, величина в пределе остается конечной. В критической ситуации в силу имеем Условие таким образом, в пределе «стирается», а в докритической ситуации возникает приосевой пограничный слой. Введем малый параметр и внутреннюю переменную пограничного слоя Из уравнений (22) после простых преобразований получим главные члены внутреннего асимптотического разложения по

Гидродинамическая часть системы в приближении пограничного слоя отщепляется. Ее решение — не что иное, как классическая струя Шлихтинга. Распределение температуры в струе при совпадает с распределением продольной скорости, т. е. имеет место аналогия Рейнольдса.

Поставим задачу об определении главных членов внешнего асимптотического разложения по Подставляя найденное погранслойное решение в уравнение для и интегрируя, получим

Внешнее разложение для существует, если функция при остается ограниченной. Если то главным в квадратной скобке является второй член. Для существования конечного предела необходимо, чтобы выражение при стремилось к конечной величине С. Тогда задача для у принимает вид

При интегрировании от до последнее условие может быть выполнено лишь при вполне определенном значении Распределение совпадает с распределением, полученным Шнайдером [233] для предельно сильной струи, вытекающей из отверстия в стенке. Из вида функции и требования конечности внешнего предела при вытекающего из условия нормировки следует Тогда в силу ограниченности С необходимо, чтобы было конечной величиной, следовательно, переходя к пределу имеем Однако это не означает, что при восходящих конвективных течений не существует, а является следствием несовместимости свойств решений и принятой нормировки.

Действительно, оценим число Грасгофа определенное по тепловому потоку В условиях сильной струи

откуда т. е. при Таким образом, решении существует при всех значениях теплового потока, но с увеличением асимптотически формируется сильная приосевая струя, которая уносит все тепло источника, а температура стенки и текущей вблизи нее жидкости стремится к температуре на бесконечности. Импульс струи растет пропорционально кубу теплового потока: если

Если то главным является первый член в квадратной скобке выражения (27). Для ограниченности теперь необходимо, чтобы величина была конечной. Тогда

и для функций из (22) следует система

Рис. 66.

Рис. 67.

уравнении

Интегрируя эту систему от оси с условиями и определяя из условия получим, принимая зависимость

Результаты расчета представлены на рис. 66. Область существования решений расположена ниже сплошной кривой, обращается в нуль при Функции мало отличаются от единицы. Наибольшее отличие при не превышает 0,3.

Предельное внешнее течение слабо зависит от числа Прандтля (рис. 67). Переход от решения при к решению Шнайдера при равномерен по но производная меняется скачком от 2 при до при

Если перейти к параметрам то решение существует при всех их значениях. Кривая соответствует бесконечным значениям при а точка переходит в полуось значит, что если при фиксированном значении число Прандтля устремить к нулю, то в пределе возникает бесконечно сильная струя, при этом внешнее течение, порожденное эжекцией струи, соответствует приведенной на рис. 67 для случая Асимптотическая зависимость импульса струи при имеет вид

Суммируем полученные результаты. Конвективное течение, порожденное тепловой особенностью, расположенной на плоскости, качественно различно для стока и источника тепла. В случае стока возникает опускное течение и при больших обильностях вдоль плоскости распространяется веерная струя. С увеличением обильности скорость неограниченно возрастает во всей области течения. В случае источника движение подъемное, при больших обильностях вблизи оси возникает сильная струя, импульс которой растет с по-разному при В пределе, ось играет роль линейного стока, вне оси скорость течения имеет конечный предел при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление