Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5.4. Возникновение конвекции вблизи горячего центра гравитации

Еще одна возможность существования конически симметричных решений системы уравнений Буссинеска реализуется, когда ускорение силы тяжести обратно пропорционально квадрату расстояния Это означает, что источник тяготения, помещенный в начало координат, имеет точечный характер, т. е. его размеры по сравнению с масштабом конвективных движений пренебрежимо малы. Подобная ситуация может возникать в астрофизике. Массивные компактные объекты, такие как звезды, ядра галактик, черные дыры и т. п., зарождаются в силу гравитационной неустойчивости внутри гигантских облаков молекулярного газа. Их формирование сопровождается крупномасштабными движениями, природа которых до конца не выяснена и широко обсуждается специалистами [193, 228]. Как показано в § 3, 4, течения в виде сильных струй имеют чисто гидродинамическое объяснение в рамках модели вязкой несжимаемой жидкости [45]. Здесь же будет исследована возможность развития крупномасштабных движений за счет естественной конвекции, вызываемой тепловыделением в центре тяготения.

Итак, принимается, что окружающая горячий центр притяжения среда является вязкой несжимаемой жидкостью и при этом

Архимедова сила направлена радиально, где вспомогательное число Грасгофа. Тепловой поток через сферу радиуса равен

Определим число Грасгофа через тепловой поток: Оно связано со вспомогательным числом Грасгофа соотношением и в режиме теплопроводности, когда имеем

Уравнение движения, как это следует из (6), для дайной задачи имеет вид

а уравнение теплопроводности сохраняет форму, приведенную в уравнении (22) разд. 5.3,

Чтобы разрешить систему (28), (29) относительно старших производных, исключим из первого уравнения

Систему (29), (30) необходимо дополнить условиями регулярности решения при и нормировки: . При численном решении удобно использовать промежуточную нормировку для температуры, например

Некоторые результаты можно получить аналитически. Система (29), (30) допускает тривиальное решение соответствующее режиму теплопроводности, когда гравитационные силы гидростатически уравновешиваются соответствующим градиентом давления. Чтобы исследовать устойчивость состояния покоя, линеаризуем систему около тривиального решения. Для этого достаточно положить в уравнении и отбросить последний член в левой части:

Очевидно, что для регулярности необходимо, чтобы решение имело представление где -ограниченная на интервале функция. Будем разыскивать в виде полипома

В силу линейности уравнения (31) без ограничения общности можно положить Подставив (32) в (31) и приравняв нулю коэффициент при получим спектральные значения числа Рэлея, когда существуют нетривиальные решения.

Остальные коэффициенты в представлении (32) определяются из

условия равенства нулю коэффициентов при где Первое критическое число Рэлея Ему соответствует собственная функция

Линеаризуя уравнение теплопроводности, получим откуда Подбирая константу С из условия что в первом приближении дает найдем Решение, естественно, определено с точностью до произвольного множителя, играющего роль амплитуды конвективного движения.

Чтобы выяснить характер бифуркации, будем искать решение в виде ряда по амплитуде

Подставляя это представление в систему (29), (30), получим, в частности, уравнение для приравнивая в (30) сумму членов при нулю:

Оператор в левой части (34) вырожденный, поскольку спектральное значение. Чтобы решение (34) существовало, необходима ортогональность правой части (34) собственной функции сопряженного оператора. Нетрудно убедиться, что линейный оператор левой части (34) самосопряженный. Действительно, первые два члена (34) могут быть представлены в виде второй производной

Имея в виду граничные условия получим

откуда следует самосопряженность. Таким образом, правая часть (34) должна быть ортогональна т. е.

Подставляя значения после несложных вычислений находим

или

Таким образом, конвекция существует как при (при этом так и при т. е. имеет двусторонний характер (рис. 68). Как утверждает теория [3], такая бифуркация вырожденная, негрубая. Она реализуется по причине присущей задаче симметрии. Двусторонний характер бифуркации сохраняется при всех значениях числа Прандтля.

Закритический режим устойчив в малом. Структура конвективного движения в этом случае такова. В полярной области жидкость движется к началу координат и растекается вдоль экваториальной плоскости. Примечательно, что полояение оси конвекции произвольно, и, по-видимому, определяется характером начального возмущения.

В докритической ситуации ответвляющееся решение соответствует сходящемуся течению вблизи экваториальной плоскости и восходящей струе в приполярной области. Но это решение неустойчиво и принадлеяшт сепаратрисе, отделяющей область притяжения исходного решения — покоя от области притяжения конвективного движения большой амплитуды. Оба ответвляющихся режима конвекции симметричны относительно экваториальной плоскости. Такая симметрия допускается системой уравнений (29), (30) и в случае не малых амплитуд, при этом —антисимметричная, а —симметричная функции. Свойство симметрии, как нетрудно убедиться, сохраняется для всех решений, ветвящихся при для нечетных

Однако при четных симметрии нет, поскольку в силу (32) выражение для у содержит четную степень х, а уравнения не допускают решения с симметричной функцией Однако поскольку предпочтительного направления в исходной задаче нет, бифурцируют одновременно два асимметричных режима, различающиеся с точностью до отражения от экваториальной плоскости.

Рис. 68.

Рис. 69.

Поэтому бифуркация при четных имеет вилочный характер. В качестве примера рассмотрим Имеем

Характер конвективных течений (справа) и поля температуры (слева) показаны на рис. 69.

Разыскивая решения в виде ряда по амплитуде

обнаружим, что из уравнения (34) в силу симметрии с необходимостью следует Это и есть условие ортогональности. Функция оказывается антисимметричной. Коэффициент можно найти из условия разрешимости уравнения для Простые, на довольно громоздкие выкладки дают

Таким образом, при малых и умеренных числах Прандтляг происходит прямая бифуркация, а при обратная. Впрочем, это не имеет большого значения, поскольку при таких величинах исходный режим неустойчив, и поэтому ветвящиеся решения также неустойчивы из-за того, что ветвление связано со следующим спектральным номером.

Гораздо больший интерес представляет вопрос, какой режим конвекции развивается в результате жесткой потери устойчивости при Чтобы получить на него ответ, определим в разложении коэффициент Учитывая выражение (35) для найдем, подставляя в (34) выражения для

Это уравнение имеет решение Константа С определяется из условия нормировки. Конкретизируем смысл амплитудного множителя, положив, например, Тогда из того, что следует Из уравнения находим

Уравнение для имеет вид

Требуя ортогональности правой части функции найдем в

зультате простых, по громоздких выкладок

Таким образом, в разложении величина Если ограничиться первыми тремя членами, то число Рэлея достигает минимума при а затем увеличивается с ростом А (см. рис. 68). Ветвь где соответствует устойчивым режимам конвекции. Величина и диапазон гистерезиса с увеличением уменьшаются. Проведенный анализ касается свойств решения при малых значениях А.

Рассмотрим теперь асимптотическое поведение при Для этого удобно ввести функцию

а уравнение (28) после трехкратного интегрирования переписать в виде

Поскольку выражается через квадратуру

она является знакооиределенпой и, так как звезда является источником тепла, положительной функцией.

Когда в полярной области возникает восходящий поток, то за счет конвективного переноса температура вблизи полюса возрастает, что увеличивает там подъемную силу. Эта положительная обратная связь приводит к развитию сильных струй в полярной области.

Введем малый параметр и нриосевую переменную Как и в предыдущей задаче, функция тока и температура в пограничном слое имеют распределения Из условия нормировки для симметричной конвекции

с учетом имеем в предположении, что весь поток тепла уносится полярными струями, Уравнение (37) в новых переменных принимает вид Интегрирование его с учетом дает

Рассмотрим сначала случай Тогда при главным является второй член. Переходя к пределу , получим, полагая

Второе равенство следует из требования симметрии Выражение (39) определяет распределение вне пограничного слоя. Подставляя его в (38), придем к уравнению для главного члена внешнего асимптотического разложения у по параметру

Функция должна удовлетворять условиям Производная при получается посредством дифференцирования (40):

Интегрируя (40) от до находим Константу С определим из условия Эта задача имеет аналитическое решение Асимптотическая зависимость менаду величиной скорости на оси и числом Грасгофа имеет вид

Асимптотическая структура конвекции при этом такова. Вдоль оси от звезды бьют сильные горячие струи, а вне малых приполярных областей среда равномерно подтекает к оси, которая для внешнего течения служит стоком, с обильностью на единицу длины

В случае главным в выражении для является первый член в квадратных скобках, при этом в пределе поэтому при выводе уравнений для главного члена внешнего асимптотического разложения по сделаем замену переменных

После подстановки этих выражений в уравнения (29), (37), (38) имеем

При Последнее условие получается дифференцированием третьего уравнения (42) и подстановкой Подставляя в первое уравнение (42), находим

Значение остается искомым параметром, который определяется из условия Значение определяется из требования ограниченности исходя из уравнений (42). Функция имеет неограниченную вторую производную но коэффициент В также может быть выражен через Интегрируя систему (42) как задачу Коши от где находим и подбираем так, чтобы

Из выражения для следует, что асимптотическая зависимость, аналогичная (41), в интервале имеет вид

Случай требует особого анализа, но не представляет большого интереса, и поэтому здесь не рассматривается. Специального разбора заслуживает случай

Уравнения конвекции при принимают вид

Главные члены внутреннего разложения имеют представление

При Для главных членов внешнего разложения уравнения (44) и граничные условия для сохраняют свой вид, но для краевая задача меняется: Введем вспомогательную функцию удовлетворяющую уравнению и граничным условиям Симметрия относительно смены знака х также выполнена.

Будем искать решение для в виде Тогда для получаем задачу

Функция имеет ограниченную третью производную Задача для примет вид

Задавшись пробным значением приходим к задаче Коши. В результате интегрирования (45), (46) от до находим

Затем должны быть выбраны так, чтобы Приближенные значения можно получить аналитически. Аппроксимируем минимальным полиномом, удовлетворяющим краевым условиям Тогда и полагая в уравнении находим Численный расчет краевой задачи (45), (46) дает

Таким образом, при конвективный режим с восходящим движением у полюса, который ответвляется от состояния покоя при с уменьшением числа Рэлея приобретает струйный характер. Когда достигает значения импульс струи обращается в бесконечность и решение перестает существовать.

Случай малых значений числа Прандтля важен с физической точки зрения. Вблизи звезды теплообмен имеет в основном лучистый характер и слабо зависит от движения среды. В рамках рассмотренной модели это означает, что эффективные значения числа Прандтля весьма малы. В такой ситуации наряду с покоем при существует устойчивый конвективный режим с сильной восходящей полярной струей. При кроме пего, существует другой устойчивый конвективный режим с нисходящим полярным течением, по скорости движения при этом существенна меньше.

Выясним характер поведения поля скорости при больших тепловых потоках для нисходящего полярного течения. Сначала рассмотрим случай Предположим, что функция не имеет пограничного слоя. Тогда при внутри интервала В этих условиях из уравнения (38) следует После замены из второго уравнения (44) получим

Поскольку необходимо, чтобы должна быть положительной. Но тогда в силу уравнения монотонно возрастает при изменении от 1 до 0, и выполнить условие можно только для тривиального решения

Таким образом, получено противоречие. Остается допустить, что существует пограничный слой вблизи экватора. Положим Тогда, требуя, чтобы линейные и нелинейные члены, а также правая часть имели одинаковый порядок величины, из уравнений (44) находим В пограничном слое система (44) преобразуется к виду где производные берутся по Функции асимптотически при убывают пропорционально Таким образом, течение сосредоточено в

Рис. 70.

Рис. 71.

экваториальной области шириной а скорость на оси струи растет как

При следует обратиться к системе уравнений

Дополняя зависимость пограничном слое представлением и условием нормировки получим о

В этом случае толщина пограничного слоя а скорость на оси струи

При промежуточных значениях интенсивности конвекции необходимо прибегнуть к численному расчету уравнений (47). Эта система интегрировалась от с начальными условиями причем В результате интегрирования находились и Параметры подбирались так, чтобы после чего из условия проводилась перенормировка Рассчитанные таким образом зависимости представлены на рис. 70. Они вполне согласуются с проведенным анализом при малых и больших иитенсивностях конвекции. Примеры распределения радиальной скорости и температуры приведены на рис.

Рассмотренные автомодельные решения уравнений Буссинеска описывают ряд нетривиальных свойств термогравитациоипон конвекции. Хотя все три задачи сводятся к системе обыкновенных уравнений, они сохраняют черты, присущие нелинейным

Рис. 72.

уравнениям движения вязкой жидкости в делом. К ним относятся отрыв, потеря устойчивости и неединственность стационарных течений и, наконец, потеря существования решения при конечных значениях безразмерных комплексов, характеризующих силы плавучести.

Отрыв пристенного течения и возникновение двухъячеистого режима конвекции, имеющие место в задаче о тепловом квадруполе, не совсем обычны. Прежде всего это, так сказать, автомодельный отрыв, и поэтому зона рециркуляции незамкнута. Далее, отрыв происходит непривычным образом — в течении вдоль плоскости к началу координат.

Во второй задаче в случае точечного источника холода, напротив, казалось бы, ожидаемый отрыв не происходит. Хотя в этом случае поток жидкости растекается вдоль плоскости от начала координат и, следовательно, замедляется как поток в диффузоре, тем не менее отрыв блокируется подтоком жидкости к стенке в условиях устойчивой стратификации. В результате происходит ускорение внешнего течения и формируется сильная пристенная струя.

В задаче о конвекции вблизи звезды обнаружено счетное число стационарных решений, ветвящихся от состояния покоя. При первом же ветвлении возникает так называемая бистабильность — одновременное существование двух устойчивых в малом режимов конвекции. В режиме, когда жидкость подтекает к центру вдоль плоскости, может происходить накопление вещества вблизи этой плоскости и образование, подобное диску аккреции, обнаруживаемому вблизи молодых звезд и других массивных космических объектов.

Наконец, во всех трех задачах в противовес бытующему представлению о вялости термоконвективных движений показана возможность формирования сильных восходящих струйных течений: прогретой жидкости, импульс которых может обращаться в бесконечность при конечных числах Грасгофа или Рэлея.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление