Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 3. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ С ПРОСТРАНСТВЕННЫМ, УСКОРЕНИЕМ

Рассмотрим два класса осесимметричиых решений уравнений Навье — Стокса, обладающих рядом необычных свойств. Один класс касается движений с пространственным ускорением вдоль оси симметрии и применяется для изучения течения в пористой вращающейся трубе. Другой относится к движениям с пространственным ускорением по и используется для описания течения жидкости между пористым вращающимся диском и неподвижной плоскостью. Отметим, что обе постановки имеют плоские аналоги, которые сливаются в одну задачу о плоском течении, между двумя пористыми параллельными пластинами.

Плоская задача здесь не рассматривается, поскольку имеет значительно меньше парадоксальных свойств. Обзор исследований плоских течений с пространственным ускорением содержится в монографии [58].

§ 1. СТАЦИОНАРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ПОРИСТОЙ ТРУБЕ

1.1. Постановка задачи

Объектом исследования в данном параграфе являются решения уравнений движения в цилиндрической системе координат (1.1.8), которые имеют вид

Тем самым рассматривается осесимметричное движение с постоянным пространственным ускорением вдоль оси симметрии Решения класса (1) допускаются уравнениями Навье — Стокса и могут иметь различные приложения. Сюда относятся проблемы моделирования потоков в тепловых трубах и пороховых шашках. В первом случае интерес представляют задачи как вдува, так и отсоса; они моделируют процессы испарения и конденсации. Задача о вдуве в пористую вращающуюся трубу моделирует сложные течения в приосевой зоне вихревой камеры [37]. Поэтому в математическом плане здесь изучается задача о течении во вращающейся пористой трубе радиуса а при наличии на боковой поверхности равномерного вдува или отсоса со скоростью направленной радиальио.

Данной постановке отвечают граничные условия

Условия (3) выражают требование отсутствия особенностей на т. е. принадлежности оси внутренности области течения, что согласно [84] равносильно условию аналитичности решения в окрестности оси. Условия на бесконечности, равно как и условия прилипания на торце не ставятся. Таким Образом, изучается случай, когда можно не учитывать торцевой пограничный слой либо когда рассматривается симметричная конструкция с двумя выходами в которой срединная плоскость является непроницаемой, но «абсолютно гладкой», и условия прилипания заменяются условиями симметрии

Подстановка (1) в уравнения (1.1.8) дает

Из этих уравнений следует, что Отсюда с необходимостью вытекает

где — произвольная постоянная; Подстановка (8) в (6) дает уравнение

Уравнения (7) и (9) образуют замкнутую систему, которая может быть решена независимо от уравнений (4) и (5). Последние будут служить для определения функций после определения Для функций согласно (2), (3) ставятся четыре краевых условия. Это позволяет в системе третьего порядка (7), (9) определить неизвестную константу а или исключить ее посредством дифференцирования (9). Принимая за масштаб длины радиус трубы а, за масштаб скорости величипу и вводя систему (9), (7) мояшо записать в стандартной

безразмерной форме

где Исключение позволяет записать

Уравнения (10) или (11) должны решаться при условиях

Вдув отвечает значениям

Уравнение (11) удобно для рассмотрения предельных случаев В первом из них

Во втором

Выражения (13) и (14), очевидно, удовлетворяют условиям (12). При этом соотношение (14) описывает вихревое движение идеальной жидкости. Согласно [2, 147], для такого движения все условия (12) могут быть выполнены лишь на участках втекания, т. е. при вдуве. В случае сильного отсоса выражения (14) должны быть заменены следующими:

Потенциальное решение (15) не удовлетворяет условию прилипания следовательно, относится к ядру течения.

Для анализа и численного решения задачи удобно исходную систему уравнений (7) и (9) преобразовать с помощью замены переменных

Тогда уравнение (7) примет вид

где штрихом обозначено дифференцирование по х. Уравнение (9) с учетом (17) после несложных преобразований сводится к уравнению третьего порядка, не содержащему параметров,

Уравнение (5) после введения безразмерной функции приводится к виду

Будем искать одиоиараметрическое свойство решений уравнения (18), зависящее от параметра и удовлетворяющее условиям

Величина согласно (17) и (20) пропорциональна осевой скорости на оси Выполнение последнего соотношения (20) обеспечивают ограниченность и аналитичность решения уравнения (18) в некоторой окрестности точки [60]. Если отказаться от этого условия, как сделано в работе [71], то свойство аналитичности нарушится и решение будет иметь на оси некоторую особенность, которая вызовет течение и при отсутствии других источников движения. Следовательно, она сама является источником движения и должна в этом качестве фигурировать в постановке задачи. В этой связи решение, приведенное в [71], нуждается в дополнительной физической интерпретации.

Впервые автомодельные решения рассматриваемого класса, по-видимому, изучались в работе [259], где получено уравнение (11) и найдены его решения при малых и больших Предельные решения для вдува вида (14) при приведены также в работе [209]. В работе [244] найдены точные решения уравнения (18) для при Значению соответствует двухъячеистый вихрь с возвратным течением у оси. Однако возможное вращение, определяемое уравнением (19), на картину меридионального течения не влияет. Поэтому наличие возвратных течений не может быть связано с вращением, как это предполагается в [244].

В работе Левеллена [197] также предполагается, что меридиональное течение формируется под влиянием сильного вращения, хотя, подчеркнем это еще раз, исследование меридионального течения может быть осуществлено независимо от вращения. В работе Уайта [132] получен ряд частных решений задачи с помощью разложений в степенные ряды. Здесь в случае отсоса обнаружена неединственность решений при одних числах Рейнольдса и несуществование при других. Детальное теоретическое и численное исследование задачи (19), (20) предпринято в [34, 35, 37], результаты которых излагаются в последующих разделах. Численные данные, вполне согласные с этим анализом, приведены в работе [248]. Теоретический анализ проблемы для случая отсоса содержится в статье [130]. В дополнение к этому следует указать [67, 237], где строгими математическими методами вновь получены результаты, изложенные в [34, 35].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление