Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.2. Анализ задачи Коши

Однопараметрическое семейство решений задачи (18), (20), зависящее от параметра поддается полному математическому анализу [34]. Запишем вытекающие из (18) следующие

соотношения:

Можно легко доказать, что при выполнении условий (20) решение уравнения (18) аналитично в окрестности точки Такое доказательство приведено в [60].

Ключом дальнейшего анализа является неравенство причем если достигается равенство, то и Докажем это неравенство. Если при то, очевидно, Пусть тогда и согласно соотношению (21в) В силу непрерывности функции она положительна и на некотором интервале Допустим, что Поскольку при то на этом интервале возрастает и в точке имеет либо максимум, либо точку перегиба. Согласно соотношению (21в) что исключает возможность максимума в точке

Пусть точка перегиба функции тогда так что в соответствии с (21в) таком случае согласно (216) имеем либо либо Если легко видеть, что в точке все высшие производные равны нулю, так что возможно лишь Если же используя равенства (21), получаем в точкех

Поскольку есть четвертая (четная) производная от то последнее неравенство показывает, что функция имеет минимум, а это противоречит факту монотонного возрастания на интервале ( Полученное противоречие доказывает неравенство которое позволяет детально проанализировать свойства решений задачи (18), (20) в различных случаях. Общим свойством этих решений является то, что в соответствии с неравенством график есть выпуклая кривая, которая не может иметь более двух нулей. Отсюда вытекает, что функция и имеет не более двух стационарных точек и, следовательно, не более трех корней. Функция имеет не более трех экстремумов и не более четырех корней.

Покажем, что функции ограничены снизу. Пусть это не так Тогда найдется точка где — .

В таком случае согласно (21в) при будет возрастает, так что Интегрируя последнее

неравенство трижды от х до х, находим

Отсюда следует, что, поскольку функция ограничена снизу. Еще одно интегрирование дает

Неравенство (22) показывает, что и функция ограничена снизу, если Исключение составляет случай, когда Как было установлено, в этом случае и возможно решение не ограниченное снизу.

Продолжая анализ, положим, что так что и согласно В соответствии с (216) имеем Интегрируя неравенство трижды от до х, находим

Отсюда вытекает, что и при всех х, и для значений нельзя построить решений исходной краевой задачи, которые при некотором должны удовлетворять условию

Пусть Тогда при согласно и на некотором интервале производная убывает. Поскольку она ограничена снизу, пусть в точке функция и имеет минимум. Тогда В таком случае из (21а) следует неравенство Значит, либо либо Очевидно, возможен лишь второй случай, поскольку согласно предыдущему и убывает.

Таким образом, в рассматриваемом случае функция и имеет отрицательный минимум в точке Интегрируя неравенство трижды в пределах от до х, получаем и Так как то функции и с ростом х стремятся к Из данного анализа непосредственно следует, что если то функция и имеет два корня, равно как и В случае обе функции и имеют по одному корню. Для значения величина поэтому при согласно неравенству (23) и корней не имеет. При всех функции имеют по одному корню.

Анализ ситуации при сложнее предыдущего. Граничному значению соответствует решение задачи Пусть где Полояшм

Тогда, линеаризуя по уравнение (21а), получим

Без ограничения общности можно принять тогда как требование аналитичности решений (24) приводит к условию их Решение уравнения (24), удовлетворяющее всем этим условиям, имеет вид Следовательно,

Это решение в области близких к 2, имеет единственный положительнный корень: являющийся вещественным лишь при При полученное решение лежит ниже прямой но согласно предыдущему оно не может идти в —а после достижения отрицательного минимума уходит в (эти эволюции первым приближением не описываются). Следовательно, при но близких к 2, зависимость имеет единственный корень. Если то задача (18), (20) также допускает аналитическое решение

Полагая для функции получаем уравнение

Поведение при больших х определяется уравнением решение которого имеет вид Несложный анализ показывает, что при функция имеет единственный корень, а при появляется еще пара вещественных корней. Следовательно, при изменении в от 2 до 4 изменяется структура решений: при функция имеет один корень, а -один или два; при имеют по три корня.

Численный расчет дал значение При в точке функция имеет двукратный нуль: При функции имеют по одному корню. Интегральные кривые, отвечающие значениям являются в некотором смысле особыми: при стремлении к этим значениям соответствующие кривые, хотя и приближаются к предельным, но неравномерно. Например, каково бы ни было при начиная с некоторого х, хотя при

Отметим, что для критических значений решение уравнения (18) удается выписать явно в элементарных функциях [237, 244]: при при Если ввести замену то (18) примет вид

Для получается решение

Зависимость представляет выпуклую кривую, которая имеет минимум и и корень при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление