Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.3. Численные результаты и комментарии

Установленные свойства решений вполне согласуются с численными расчетами, результаты которых представлены на рис. 73 и 74. Рис. 73 отвечает значению рис. Расчеты выполнялись методом Рунге — Кутта с автоматическим выбором шага. Тем самым разыскивалось аналитическое решение, удовлетворяющее условиям (20). Значение необходимое для первого шага, вычислялось с помощью (216):

Для решения исходной краевой задачи необходимо выполнить условия (12). Поскольку из-за введения в (16) неизвестной величины а интервал изменения переменной х сделался неопределенным, этим можно воспользоваться для выполнения на его конце последнего условия (12), записанного с учетом (17)

Рис. 73.

в форме

Итак, при заданном необходимо интегрировать уравнение (18) с условиями (20) до точки где выполняется условие (26). Тогда согласно (16) имеем

Для определения скорости вращения или циркуляции следует найти решение уравнения (19) при известной функции В силу его линейности для уравнения (19) достаточно построить решение задачи Коши: Определив значение можно перенормировать решение разделив его на Построенное таким образом решение будет удовлетворять краевым условиям по переменной При этом размерная циркуляция будет определяться выражением где вращательное число Рейнольдса.

Результаты проведенных численных расчетов представлены на рис. 75 в виде зависимости Как видим, эта зависимость носит сложный неоднозначный характер и состоит из семи ветвей. Соответствующие данные приведены в табл. 1, где приняты следующие обозначения: номер ветви; номер корня; число ячеек по радиусу; характер течения, например, Обозначает, что имеет место отсос с течением вблизи стенки в направлении к торцу кольцевым прямотоком и возвратным приосевым потоком; интервал изменения параметра

Рис. 74.

Рис. 75.

Таблица 1 (см. скан)

Значения являющиеся, как было указано, особыми, представляют собой возможные асимптоты, при стремлении к которым

Рис. 75 демонстрирует основное свойство полученных решении — их неединственность. Число решений может достигать четырех. Наиболее удивительной является четность числа решений при любых значениях критерия Рейнольдса Как видим (см. рис. 75 и табл. 1), в случае вдува при всех существуют два типа решений — прямоточные, их мы будем называть решениями первого типа, и с приосевым возвратным течением — это решения второго типа. Неединственность сохраняется даже при Наряду с покоем значению отвечает движение в непроницаемом «стакане», вызванное приосевой струей, бьющей в дно со стороны «открытого» конца. Этому течению соответствуют значения Минимальное значение и, которое может быть принято за характерное число Рейнольдса, составляет , а максимальное значение осевой скорости пропорционально величине

Таким образом, при мы имеем вполне определенное движение второго типа, сосуществующее с покоем. Это движение действительно можно получить в стакане конечной длины если при поставить определенные граничные условия, диктуемые автомодельностью. Заметим, что для автомодельности при должна быть задана не только форма профилей скорости но и их определенная численная величина. С этой точки зрения существование решений второго типа представляется фактом случайным и негрубым, разрушающимся при малом изменении граничных условий. Заметим, что в опытах [160] оказалось невозможным получить решения второго тина вдуве в пористую трубу. Это свидетельствует о неустойчивости подобных решений.

На первый взгляд решение второго тина весьма похоже на движение во вращающемся стакане, где возникает циркуляционная зона. Однако ясно, что интенсивность меридионального

течения должна зависеть от скорости вращения стакана. Между тем, как уже отмечалось, уравнения (9) или (18) не содержат величины и тем самым вращение не может влиять на меридиональную циркуляцию. Поэтому использование решений второго типа, отвечающих второй ветви на рис. 75, неприемлемо и для описания ламинарного течения во вращающемся стакане. Иное дело — турбулентное течение, в котором турбулентная вязкость зависит от скорости вращения. Соответствующая модель обсуждается в § 3.

С точки зрения задачи о пористом вдуве в невращающуюся трубу решения второго тина представляются лишними. Наличие таких решений следовало бы отнести к парадоксам автомодельности, связанным с недостаточно жестким заданием краевых условий: если условия автомодельности при считать однородными, то наличие решений второго типа свидетельствует о нетривиальной разрешимости такой однородной задачи. Ясно, что обычная постановка задачи путем назначения вектора скорости на границе эту «спектральную» ситуацию устраняет. Приведенный пример недостаточной жесткости требования автомодельности, используемого вместо обычных граничных условий, не является исключительным, в § 4 мы снова столкнемся с подобным явлением.

В случае отсоса задача имеет переменное число решений. Наряду с ветвью 5, отвечающей значению т. е. разрежению вблизи торца что при отсосе естественно, на рис. 75 представлены также ветви 3 и 4, для которых Ветвь 5 имеет при горизонтальную асимптотику, которой отвечает конечное значение Отметим, что поскольку при то параметр а, определяемый соотношением (16), находится в виде Тогда величина оказывается конечной. Этому случаю отвечает безградиентное течение с (см. (8)), которое непрерывно переходит в течение с соответствующее ветви 4. Последняя сливается с ветвью 3, обнаруживающей необычное поведение: вблизи стенки, несмотря на отсос, яшдкость движется в положительном направлении оси В самой точке слияния касательное напряжение на стенке обращается в нуль, т. е. наступает явление отрыва, что вполне объяснимо, так как течение, соответствующее ветви 4, происходит с неблагоприятным градиентом давления.

Процесс рождепия пары решений при увеличении можно проследить на рис. 73 при переходе от кривой с к кривой с В точке перегиба при касательная становится горизонтальной, т. е. в этой точке после чего от этой точки расходятся минимум — влево (ветвь 4) и максимум — вправо (ветвь 3), так что рождается пара решений краевой задачи. Физически течения, соответствующие ветвям 2 и 3, определяются

двумя причинами: вдувом или отсосом и приосевой возвратной струей весьма специального вида. Эту струю можно было бы исключить из рассмотрения, «выключив» лишний источник движения, но именно она делает возможным рождение вполне нормальных решений на ветви 4, соответствующих отсосу. Правда, на ветви 4 число Рейнольдса не может превышать значения 2, 3, но это факт того же порядка, что и ограничение на ветви 5.

Весьма удивительным является отсутствие автомодельных решений на интервале Физически в этом интервале отсосов решение, несомненно, существует, но оно может быть автомодельным. Возможно, это связано с тем, что при промежуточных числах следует ожидать изменения знака градиента давления при некотором В самом деле, в области малых z имеет место медленное течение, и для отсоса необходимо создавать разрежение, так что в этой области должно быть С другой стороны, при больших z скорости велики и по теореме Бернулли торможение потока при уменьшении z должно приводить к росту что соответствует неравенству Однако согласно (8) для каждого данного течения величина должна быть знакопостоянна.

В литературе имеются указания [66], что так и происходит в эксперименте. Кроме того, при отсосах, соответствующих значениям наблюдается потеря стационарности движения с возникновением автоколебательных режимов. Существенно, что потеря существования автомодельного решения при связана с условием прилипания которое выражает условие ортогональности поверхности пор, через которые осуществляется отсос или вдув. Задачу можно обобщить, задав произвольный угол наклона а этих пор, или, что то же, вектора скорости В частности, если вместо условия прилипания потребовать выполнение условия скольжения например, за счет подбора угла а, то, очевидно, при всех числах Рейнольдса будет существовать решение (1.15), отвечающее осевому потоку со скоростью, не зависящей от Эту ситуацию можно отнести к турбулентному потоку с постоянной турбулентной вязкостью, удовлетворяющему на границе условию скольжения (см. разд. 3).

Возвращаясь к рис. 75, заметим, что при вновь появляется пара решений, а при еще пара, чем полное число решений и исчерпывается. О характере этих решений можно судить по табл. 1 и рис. 73.

Автомодельные решения, несмотря на некоторые их необычные свойства, имеют большую познавательную, а иногда и практическую ценность, разумеется, при условии их устойчивости. К исследованию этого вопроса для течений со вдувом мы и переходим.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление