Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ В СЛУЧАЕ ВДУВА

Работ по исследованию устойчивости течений вида (1.1) крайне мало, видимо, в силу большой сложности этой проблемы. Поскольку задача о пористом вдуве имеет важные приложения, так как имитирует процессы испарения или горения на внутренней поверхности трубы, именно ей посвящена наша работа [41], а также новые данные, излагаемые ниже. Исследование случаев отсоса и вращения в настоящее время еще не завершено.

2.1. Об устойчивости в смысле автомодельной эволюции

Проблема устойчивости в целом равносильна решению задачи для полных уравнений Навье — Стокса. Однако существует класс возмущений, в рамках которого возможно полное изучение нелинейного процесса. Это возмущения вида (1.1), но зависящие еще и от времени Соответствующая безразмерная система урав нений движения имеет вид

Здесь, как и выше, за масштаб длины принят радиус трубы а, за масштаб скорости величина При этом

Уравнения (3), (4) автопомпы и служат для определения после чего функции находятся из уравнений (2) и (1) при условиях где — вращательное число Рейнольдса, при этом давление находится с точностью до произвольной функции времени. Исследованию на устойчивость подлежат стационарные решения системы (3), (4), удовлетворяющие уравнениям (1.10) с условиями (1.12). Решение задачи может быть осуществлено путем введения вспомогательного условия Тогда для системы (1.10) ставится задача Коши. Параметры и могут быть найдены, например, методом двумерных секущих путем удовлетворения двух последних условий (1.12). Зависимости представлены на рис. 76. При они выходят на асимптоты соответствующие невязкому решению (1.14). Значение отвечает решению (1.13).

Рис. 76.

Рис. 77.

Первоначальное исследование устойчивости [41] полученных таким путем решений для возмущений вида (1.1), по зависящих от времени, может быть проведено в рамках линейного анализа.

Положив в системе (3), после линеаризации получаем систему уравнений для малых амплитуд:

Заметим, что собственный параметр к не является инкрементом рассматриваемых возмущений, хотя ему и пропорционален. Дело в том, что в уравнениях (1) — (4) безразмерное время связано с физическим временем соотношением где Следовательно, инкрементом служит величина к Опуская положительный множитель можно считать, что характеристикой устойчивости является произведение движение неустойчиво, если к

Для исключения константы проще всего продифференцировать (5), после чего получается задача на определение собственных значений параметра к, для которых существует нетривиальное решение задачи, удовлетворяющее однородным условиям Подробное численное исследование показало, что решения первого типа устойчивы при всех числах Рейнольдса Напротив, решения второго типа оказались абсолютно неустойчивыми при любых Это лишний раз свидетельствует о нефизичности ламинарных решений второго типа. Достоин удивления факт потери устойчивости решением (1.15). В этом случае система (5) несколько упрощается и сводится к уравнениям

вид которых позволяет искать решение в форме

Для функций получается задача Коши:

Граничные условия приводят к характеристическому уравнению для определения параметра Зависимость величины от представлена на рис. 77. Как видим, при режим (1.15) теряет устойчивость (кривая 1). В случае вдува этот режим устойчив при всех Если на стенке вместо прилипания поставить условие скольжения то картина качественно не изменяется. Лишь критическое число Рейнольдса уменьшается до (кривая 2). Эти результаты показывают, что если стационарный турбулентный режим отсоса моделировать при помощи постоянной турбулентной вязкости и условий скольжения на стенке, то должно быть поскольку турбулентное движение заведомо устойчиво к малым возмущениям [44].

Возникает вопрос, к чему эволюционируют нестационарные решения в условиях неустойчивости или несуществования стационарных? Чтобы выяснить это, численно решала систему (3) — (4) по явной схеме методом Рунге — Кутта с использованием пространственной разностной аппроксимации второго порядка при граничных условиях (1.12). Эти четыре условия для системы тьего порядка по позволяют определить и параметр

Начальные возмущения заключались в отклонении от стационарного решения в ту или иную сторону. Здесь мы ограничимся лишь качественным описанием полученных результатов. Установлено, что при вдуве решения первого типа устойчивы при любых числах Рейнольдса по отношению к произвольным вариациям. Напротив, решения второго типа абсолютно неустойчивы к таким вариациям. При этом возмущения, ослабляющие обратный ток, эволюционируют так, что в результате получается стационарное решение первого типа. Возмущения противоположного знака обнаруживают быстрый неограниченный рост. Безусловный рост наблюдается для всех режимов отсоса при

Такое удивительное поведение возмущений связано только с предписанной автомоделыюстью, заменяющей граничное условие на правом конце трубы. Требование автомодельности в отличие, например, от более жесткого граничного условия прилипания не ограничивает приток энергии возмущений со стороны правого конца, чем и обусловлена возможность неограниченного роста энергии течения при наличии возвратного движения. Так или иначе данными расчетами проблема устойчивости решений второго типа полностью исчерпана, так что дальнейшему изучению подлежат лишь вопросы устойчивости прямоточных решений при вдуве.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление