Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2. Две постановки задачи линейной устойчивости

Стационарные решения вида (1.1) не являются одномерными, поэтому даже линеаризованная задача гидродинамической устойчивости не допускает в качестве решений синусоидальных по z возмущений вида где а — волновое число. Чтобы все-таки свести проблему к задаче Орра — Зоммерфельда, приходится игнорировать зависимость «замораживая» переменную z и рассматривая ее в качестве параметра. Такой подход, принятый в работах [58, 59], является приближенным и дает тем более точные результаты, чем больше значение параметра а, т. е. для коротковолновых возмущений, на длине волны которых можно пренебречь зависимостью от z основного течения.

Указанную зависимость можно и вовсе замаскировать, если для каждой из компонент скорости основного течения ввести свои характерные масштабы, а именно: которым соответствуют три числа Рейнольдса: В этих масштабах безразмерные компоненты вектора скорости основного течения определяемые как стационарные решения системы (1) — (4), будут зависеть лишь от переменной причем где определяется в процессе решения задачи (1.10) — (1.12).

Поле возмущенных скоростей и давления можно представить в виде

где осевое и азимутальное волновые числа; частота, инкремент возмущений, которые нарастают при малые комплекснозначные амплитуды возмущений, зависящие только от для которых путем линеаризации уравнений Навье — Стокса получается следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений (штрихом обозначено дифференцирование по ):

Здесь Как уже отмечалось, «замороженная» координата z входит лишь в продольное число Рейнольдса которое тем самым характеризует расстояние от

глухого торца до рассматриваемого сечения. Числа характеризуют интенсивность вдува и скорость вращения трубы.

Отметим, что в работах [58, 59], где рассматривался лишь случай осесимметричных возмущений, т. е. использована иная методика получения амплитудных уравнений. А именно, «замораживание» проведено после исключения давления в двумерных уравнениях для малых возмущений, что приводит к обобщенному уравнению Орра — Зоммерфельда. Если в двумерной системе (7) при исключить то получится аналогичное уравнение, но не совпадающее с упомянутым. В случае задача не сводится к одному уравнению 4-го порядка, поэтому исключение давления нецелесообразно. Результаты расчетов при для этих двух подходов оказываются близкими.

Основным недостатком системы (7) является то обстоятельство, что при она не переходит в линеаризованную систему (5). Более того, при а величина остается в системе. Это и говорит о непригодности системы (7) при малых а. Данный недостаток может быть преодолен альтернативным подходом к проблеме устойчивости течения (1.1), при котором возмущения задаются в форме, отличной от (6):

Возмущения вида (8) будем условно называть «автомодельными», а вида (6) - «классическими». Подставляя (8) в уравнения для малых возмущений и приравнивая порознь члены, пропорциональные ем и 9, получим две системы амплитудных уравнений. Одна из них совпадает с (5), а вторая имеет вид (индекс 2 опущен)

Здесь параметр имеет тот же смысл, что и выше (см. (7)). Если в системе (9) сделать предельный переход а то при конечном z (и, следовательно, зависимость коэффициентов и решения от z пропадает. При желании величина входящая в (9), может быть выражена через параметры по формуле В дальнейшем (см. разд. 2.5) изложим результаты численных расчетов по обеим системам (7) и (9).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление