Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.4. О методах решения линейных задач

Не вдаваясь в детали, отметим, что наиболее эффективным нам представляется алгоритм несимметричной разностной прогонки с прямоугольными матрицами. Пусть тогда уравнения (7) или (9) необходимо решать при условии Кроме того, можно считать, что поставлено нормировочное условие на В соответствии с этими условиями запишем любую из систем в матричном виде:

где При этом матрицы легко выписываются, исходя из вида системы.

Запишем уравнения (12) в разностной форме, используя аппроксимацию второго порядка по шагу

Прогоночные соотношения введем формулами

Подстановка (14) в (13) приводит к рекуррентным соотношениям для величин Преимущество дайной прогонки по сравнению, например, с прогонкой 3X3 заключается в том, что не приходится обращать комплексные матрицы 3X3, а матрицы обращаются «вручную». Использование двухточечной аппроксимации позволяет работать с переменным шагом и полпостыо снимает проблемы интерполяции, характерные для трехточечного шаблона.

Известные затруднения связаны с особенностью в системах (7) и (9) при что делает невозможными вычисления непосредственно в этой точке. Поэтому решение в малой окрестности строится аналитически при помощи разложений в ряды. В случае тройка линейно независимых решений, удовлетворяющих условиям имеет вид

Эти соотношения позволяют отойти от и начать прогонку с Например, если удерживать лишь главные члены, для

имеем

Удовлетворение нулевых условий на стенке достигается за счет подбора методом комплексных секущих собственного параметра а путем запуления определителя:

Здесь через и обозначены элементы матрицы и вектора В случае системы (7) и (9) вырождаются. Кроме того, изменяются граничные условия при В связи с этим достаточно осуществить прогонку 2X2. Фундаментальные решения при также можно модифицировать:

В остальном алгоритм не изменяется.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление