Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.1. Модели эффективно вязких турбулентных течений

Модель турбулентной вязкости, предложенная более ста лет назад Буссинеском, является простейшей и на фоне современных полуэмпирических теорий турбулентного переноса кажется примитивной. Тем не менее известно [37, 139, 144], что для теоретического описания некоторых свободнотурбулентных течений модель постоянной турбулентной вязкости, являющейся эмпирическим параметром, работает очень хорошо. Известны также [22, 64] успешные применения этой модели к турбулентным отрывным течениям, в которых, несмотря на наличие стенок, турбулентность в основном посит характер свободной, так как порождается вихревыми слоями, сходящимися в свободное пространство из точек отрыва. Применительно к вращающимся потокам положительный вывод о пригодности модели постоянной турбулентной вязкости получен в [69] на основе анализа экспериментальных данных.

Модель турбулентной вязкости обычно вводится для аппроксимации в уравнениях Рейнольдса

рейиольдсовых напряжений с помощью выражения

Здесь пульсационные, средние компоненты вектора скорости; чертой обозначено осреднение по времени. Второе слагаемое слева в тензорном равенстве (1) введено, чтобы уравнять первые инварианты (следы). В случае двумерной турбулентности коэффициент 1/3 должен быть заменен на 1/2. Равенство (1) подробно проанализировано в [144], где указано, что строго непротиворечивым оно может быть лишь при условии, что тензор четвертого ранга. Отметим главный формальный недостаток равенства (1): его двукратное дифференцирование по ведет к противоречию. Этот недостаток может быть преодолен, если принять другую модель турбулентной вязкости, взяв за основу уравнения Рейнольдса для средней завихренности:

Поток вихря, связанный с турбулентным переносом, моделируется антисимметричным выражением

Отметим, что соотношением (1) постулируются 6 равенств, тогда как соотношением (2) — только 3, а в плоском случае лишь 2:

Таким образом, хотя соотношения (1) и (2) приводят к эквивалентным уравнениям (Навье — Стокса и Гельмгольца), они имеют разное физическое содержание.

Соотношения (1) и (2) налагают на поля пульсаций скорости некоторые ограничения. Рассмотрим, например, одномерное среднее течение, характеризуемое простым сдвигом с градиентом скорости Согласно (1) имеем

Компоненты и нулевые в силу уравнений Рейнольдса. Ясно, что равенство (4) возможно лишь при изотропности пульсаций, когда Наличие изотропности следует ожидать в условиях, когда пульсационпые масштабы малы по сравнению с масштабами всего течения. Условия свободной турбулентности в наибольшей степени отвечают этому требованию. По-видимому, именно этим обстоятельством объясняется успех применения гипотезы Буссинеска в теории свободной турбулентности, в отличие от пристенной турбулентности, которая существенно неизотропна. В простейшем случае принимается условие причем константа зависит от характерного размера и скорости течения так что не зависящим от режима оказывается турбулентное число Рейнольдса

Таким образом, гипотеза постоянной турбулентной вязкости приводит к безразмерным уравнениям Навье — Стокса, в которых число Рейнольдса зафиксировано для всех режимов. Следовательно, течение, описываемое решением этой задачи, будет обладать свойством автомодельпости, т. е. при изменении расхода и размеров системы (при сохранении геометрического подобия) относительные поля скоростей и давления не изменяются. Таким важным свойством действительно обладают практически все развитые турбулентные потоки, резко отличаясь в этом отношении от потоков ламинарных и приближаясь к потокам невязким. Сюда относятся не только свободпотурбулентные течения, но и гораздо более широкий класс турбулентных движений, характеризующийся наличием макроскопических вихрей, например отрывные течения, а также закрученные потоки. Правда, присутствие твердых стенок делает отмеченную автомодельность лишь приближенной, по тем более точной, чем выше скорость течения, так как тем меньшую роль играют пристенные пограничные слои, связанные с действием молекулярной вязкости.

Модель эффективно вязких турбулентных течений представляет предельную ситуацию, когда молекулярная вязкость может быть отброшена. Движение удовлетворяет уравнениям Навье — Стокса

а на твердых стенках вместо условия прилипания, связанного с действием молекулярной вязкости, ставится другое условие. Казалось бы, это условие можно получить из соотношений (1) или (2). Но последние неприменимы вплоть до стенки. Поэтому условие следует сформулировать на внешней границе турбулентного пограничного слоя. Если в пограничном слое принять логарифмическое распределение скоростей

где — продольная скорость, у — расстояние от стенки, — динамическая скорость, х и С — константы, и допустить на внешней границе слоя при гладкое сопряжение с внешним потоком, так что то из (6) для плоского течения легко выводится равенство

В силу малости условие (7) может быть заменено на условие скольжения (непосредственно следующее из (1), если его применить для стенки). Однако если на границе имеются точечные источники завихренности, то член становится главным и (7) в непосредственной окрестности источника сводится к условию «адиабатичности» стенки вытекающему из (1.3). Источники завихренности на стенке должны фигурировать в модели осредненных отрывных течений, иначе движение будет потенциальным! Речь идет, разумеется, не о вязких источниках, которые всегда есть, но слабы, а об источниках завихренности в точках отрыва, интенсивность которых должна быть определена из условия самосогласования задачи: разветвление потока в каждой точке отрыва.

В интересующем нас случае турбулентного вращающегося потока отрыв является внутренним, и поэтому на стенке ставится условие скольжения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление