Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.2. Вариационный принцип

Для описания осредненных характеристик турбулентных течений обычно составляются модельные уравнения, включающие эмпирические постоянные [137, 138]. В то же время весьма плодотворным является метод получения уравнений на основе вариационных принципов [10, 116]. Последние могут иметь то преимущество, что. по идее способны дать не только сами уравнения, но и вышеупомянутые постоянные путем их последующего варьирования до достижения минимизируемым функционалом наименьшего возможного значения.

Проблема заключается в выборе функционала. В точной постановке эта задача чрезвычайно трудна и пока не решена. К сожалению, не существует такого голопомного функционала, варьирование которого давало бы уравнения Навье — Стокса [10]. По смыслу дела искомый вариационный принцип должен вытекать из общей термодинамики необратимых процессов, по эта наука сейчас находится лишь в стадии становления. Однако к поставленному вопросу для специального частного случая эффективно вязкой модели турбулентности можно попытаться подойти приближенно. Точный вариационный принцип должен был бы дать уравпения и для осредненпого движения, и для определения турбулентной

вязкости, которая является функционалом от этого движения и, вообще говоря, от внутренних переменных турбулентного потока, таких как, например, кинетическая энергия турбулентности.

Согласно сказанному в разд. 3.1, будем считать, что для эффективно вязких турбулентных течений справедливы уравнения движения (5). Остается найти турбулентную вязкость. Для слабо неравновесных процессов известен [30] принцип минимума производства энтропии. В условиях изотермической свободной турбулентности при моделировании турбулентных напряжений эффективно вязкими производство энтропии приближенно сводится к скорости диссипации энергии

Поскольку величина функционально выражается через и тензор осредненпых скоростей деформаций, в такой приближенной постановке внутренние степени свободы можно не учитывать, а искать сразу среднее движение, подобно тому как для несжимаемой жидкости динамическая задача может изучаться независимо от тепловой. Остается, однако, неясным вопрос, насколько развитое турбулентное течение может считаться слабо неравновесным процессом. Поэтому следует непосредственно посмотреть, к чему приводит минимизация функционала (8).

Как известно, при фиксированном минимизация (8) путем варьирования в классе соленоидальных векторных полей приводит к уравнению Стокса, которое соответствует первому уравнению (5) с нулевой левой частью. Уравнения Стокса не так уж плохи для описания осреднепной турбулентности, во-первых, потому, что турбулентная вязкость обычно довольно велика, во-вторых, при отсутствии условий прилипания уравнениям Стокса удовлетворяет даже потенциальное движение идеальной жидкости. Вместе с тем нельзя утверждать, что в турбулентных течениях конвекция завихренности не играет роли. Поэтому функционал (8) надо рассматривать как приближенный и использовать не для получения уравнений, в качестве которых следует принять полные уравнения Навье — Стокса, а лишь для определения путем вторичной минимизации функционала.

Полная реализация поставленной задачи на минимум-миниморум заключается в минимизации по функционала (8) при использовании (5) в качестве добавочных функциональных условий. Однако для случая проще ограничиться прямой минимизацией (8), используя в качестве решения системы (5).

Рассмотрим вопрос, для каких течений следует ожидать существование минимума Поскольку минимум заведомо будет существовать, если при Конечно, это

требование может оказаться слишком жестким, но начать анализ естественно с пего.

Для выполнения условия достаточно задать какую-либо кинематическую характеристику потока, например скорость, обеспечивающую поддержание деформационного ползущего движения при Требование может быть выполнено, если только предельное движение при будет разрывным. Но этого еще недостаточно. Рассмотрим, например, плоский пограничный слой, для которого

Поскольку то при фиксированных и следовательно, при несмотря на возникновение разрыва скорости на стенке. Поскольку пограничный слой асимптотически не дает вклада в диссипацию энергии, этот результат показывает, что функционал (8) неприменим для описания пристенной турбулентности.

Иначе обстоит дело в случае отрывных течений, например при обтекании ступеньки высотой Пусть в качестве виртуального при рассматривается разрывное течение Гельмгольца — Кирхгофа с бесконечной застойной зоной. При диссипация будет сосредоточена в тонком пограничном слое вблизи линии разрыва, и соотношение (9) сохранит силу, если под понимать длину зоны отрыва. Оценку для можно получить, положив при Это дает так что согласно Для величины получается оценка при и тогда Но ясно, что эта оценка весьма груба. Если все же допустить, что при то при В этом случае в данной модели отрывных течегош найдется вязкость при которой диссипация энергии будет минимальной. Интенсивность точечных источников завихренности должна быть выбрана из условия конечности скорости в точках отрыва. Очевидно, что такой выбор обеспечит минимум и по интенсивности источников.

Реализация данной модели требует назначения величины входящей в условие (7). Но этот вопрос нуждается в самостоятельном изучении.

Отметим, что в [37] принцип минимума диссипации энергии был использован для вычисления турбулентного числа Рейнольдса круглой струи. Однако для подобных течений с особыми точками результат зависит от способа регуляризации функционала поэтому предпочтительнее рассматривать исходные неавтомодельные отрывные течения. В случае вращающегося потока при из-за разрыва тангенциальной скорости на оси вращения что предопределяет существование минимума

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление