Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.3. Турбулентное течение в пористой вращающейся трубе

Если движение в цилиндрической области радиуса а (см. рис. 80, штриховая линия) схематизировать как течение во вращающейся трубе с глухим торцом при и проницаемой боковой поверхностью, сквозь которую осуществляется равномерный вдув с радиальной скоростью то при уравнения Навье — Стокса (5) допускают автомодельное решение вида (1.1)

Осреднениое движение (10) относится к бесконечной трубе с пористым вдувом, в которой при разрешен не более чем линейный рост при ограниченности Однако опытные данные и для конечных, но не слишком коротких вихревых камер вполне соответствуют этой картине потока поэтому автомодельное решение (10) будем использовать для камер конечной длины не ставя граничного условия при

Подстановка соотношений (10) в систему (5) дает уравнения, по форме совпадающие с (1.4) — (1.7) с той лишь разницей, что произведена замена обозначений В соответствии с рекомендациями разд. 3.1 поставим следующие граничные условия:

Последнее соотношение представляет условие скольжения, связанное с требованием отсутствия осевого касательного напряжения на цилиндрической стенке Согласно этому выражению условие скольжения на торце выполняется автоматически. Вводя, как и в разд. 1.1, обозначения

вновь приходим к уравнению (1.18). Однако для наших целей достаточно рассмотреть случай которому согласно (1.8) соответствует падение давления с ростом Тогда (1.18) можно переписать в виде

Уравнение (1.19) не изменяется,

В этих обозначениях граничные условия (11) принимают вид

где радиальное турбулентное число Рейнольдса, -искомый параметр. При использовании условий (1.20)

получается, как и в разд. 1.1, вспомогательная задача Коши. Ее нужно интегрировать до такого значения при котором выполняется последнее из условий (15). Тогда первое из этих условий определяет значение

Разница в сравнении с постановкой разд. 1.1 заключается в том, что там было использовано условие прилипания и так как рассмотрено ламинарное течение. В случае граничных условий (15) задача, как и в разд. 1.1, имеет два решения, одно из которых находится аналитически и соответствует потенциальному течению со вдувом первого типа Это решение удовлетворяет условиям (15), если положить Решение второго типа аналитически не выражается, но при стремится к функции (1.25),

Решение (17) отвечает значению по закону

Это асимптотическое решение дает картину меридионального течения, качественно близкую к изображенной на рис. 80, в частности, оно содержит описание циркуляционной зоны в приосевой области. Для конечных значений уравнений (13) легко решается численно. Как показывают вычисления, значение соответствует Таким образом, когда пробегает значения от 3,901 до 4, величина изменяется от до Узость интервала изменения позволяет получить приближенное аналитическое решение задачи. Обозначим, как и раньше, решение (17) через и будем искать решение вида где Для определения получается задача

Наибольший интерес представляет поведение решения при больших х. Дело в том, что согласно и последнее из условий (15) выполняется лишь при поправка и нужна, чтобы сделать конечным. Пренебрегая экспоненциальными членами, нетрудно получить приближенное решение, близкое к (17), в виде

где новый малый параметр. Он может быть связан с посредством соотношений

При так что можно пользоваться асимптотической зависимостью (18), а для вычисления использовать (17). Отметим, что соотношение (18) неплохо работает даже при которому согласно вычислениям соответствует точное значение

Как и в ламинарном случае, существенной чертой рассматриваемого класса решений является независимость меридионального течения от вращения. С этой точки зрения решения, близкие к (17) (решения второго типа), не могут считаться физически реальными для ламинарного режима. В случае вращающегося непроницаемого стакана, для которого на опыте возникает меридиональная циркуляция с возвратным течением в приосевой зоне и прямотоком на периферии. Но ясно, что интенсивность этих движений должна зависеть от скорости вращения стакана, тогда как рассматриваемое автомодельное решение при фиксированной вязкости дает вполне определенную картину и интенсивность течения, не зависящую от наличия вращения, что представляется парадоксальным. Иначе обстоит дело в турбулентном режиме, когда вращение может влиять на турбулентную вязкость, а через нее на картину и интенсивность течения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление