Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.4. Течение с минимальной диссипацией энергии

Для рассматриваемого течения в цилиндре с радиусом а и длиной скорость диссипации энергии имеет выражение

При решении краевой задачи гидродинамики естественным является задание вектора скорости на границе области. Именно так были сформулированы условия (11), которыми задается величина Однако с физической точки зрения задание поля при а в реальной вихревой камере представляется не таким уж естественным, да и не легким делом. Более естественно при данной геометрии камеры задать перепад давлений на ней или расход, т. е. некоторую интегральную характеристику. В данной частной задаче удобнее всего считать постоянным динамический параметр а, определенный соотношением (1.8). Имеет место связь

В переменных задачи (12) выражение (20) может быть записано в виде (певарьируемый множитель опущен)

где Поскольку неизвестная турбулентная вязкость входит в (22) и (23) только через то минимизацию (22) будем осуществлять по

Параметр основной в теории центробежной форсунки [37], а в теории . Абрамовича [1] он единственный «геометрическая характеристика форсунки»). Величины легко могут быть выражены только через геометрические характеристики вихревох! камеры. В случае тангенциальных вводов к равно отношению площадей боковой поверхности камеры и вводов.

Графики зависимостей (23) для решений обоих типов представлены на рис. Величины имеют ясный физический смысл. Они характеризуют диссипацию энергии соответственно в радиальном, вращательном и осевом движении. Отсюда вытекает, что если то для режимов второго типа параметр к несущественен для определения минимального которое тем самым зависит лишь от Это целиком соответствует тому, что для реальных вихревых камер с большой степенью закрутки к вместо двух независимых безразмерных параметров играет роль только их комбинация

Из рис. 81 можно заключить, что имеют место неравенства Тогда из (22) следует, что при Значит, при сильных вращениях (малые Л) режим второго типа обладает меньшей диссипацией, чем первого. Данные на рис. 81 позволяют проанализировать все возможности. Однако наличие в (22) двух параметров затрудняет анализ. Поэтому при рассмотрении режимов второго типа ограничимся случаем больших к, что и представляет наибольший практических! интерес. В этом случае минимальные значения определенные из условия и величина определенная по минимальному значению зависят только от А, тогда как соответствующие величины являются функциями только Эти зависимости представлены на рис. 82.

Если зафиксировать и увеличивать то а так как при этом то и Таким образом, для каждого из решений увеличение степени закрутки приводит к увеличению и снижению отвечающему минимуму диссипации энергии. В области малых А

Рис. 81.

Рис. 82.

Пусть За счет того, что Тогда и из последнего равенства и определения найдем

Таким образом, в примере с вращающимся стаканом, рассмотренном в разд. 1.1, турбулентная вязкость пропорциональна скорости вращения. Если, например, то и согласно следовательно, меридиональное движение отсутствует, так что в турбулентном режиме парадокс снимается. При движение в стакане будет автомодельным относительно скорости вращения, поскольку функция при вполне определена и не зависит от С увеличением длины стакана итенсивность меридиональных движений при каждом фиксированном z будет уменьшаться. Все эти выводы, очень похожие на правду, как и формулу (24), следовало бы проверить специальным экспериментом, реализация которого не представляется сложной.

В связи с изложенным создается впечатление, что решения второго типа «специально» предназначены для описания турбулентных вращающихся потоков, тем более, что в плоской задаче о вдуве в канал с пористыми стенками существуют лишь решения первого типа, характеризующиеся чисто прямоточным реялимом.

Вернемся к рис. 82. Для решения вопроса, какой из минимумов или при заданных параметрах лежит ниже, можно по заданному найти а затем по значению определить величину Указанная процедура проиллюстрирована на рис. 82 стрелками. Так как с ростом величина возрастает, не меняется, то в случае будет и наоборот. Иными словами, если с глубиной минимума связать вероятность

появления того или иного режима, то можно сказать, что при более вероятным является режим 2 с циркуляционной зоной, а при прямоточный режим 1. При оба режима равновероятны. Как показывают наблюдения, эти свойства действительно присущи реальным течениям.

При небольших степенях закрутки действительно сосуществуют оба режима, причем переход от одного из них к другому осуществляется буквально «мановением руки». С ростом вероятность спонтанной реализации режима 1 возрастает.

Перейдем к количественному сопоставлению. Сначала рассмотрим конкретное течение в вихревой камере [24], имеющей радиус 8 см, высоту см, радиус выходного отверстия см и направляющий аппарат, выполненный в виде 12 щелей общей площадью наклоненных под углом 45°. Величина к, определенная по параметрам потока при составляет тогда По графику рис. 82 определяем — (формула (24) дает — Согласно (19) находим (формула (18) дает Далее, согласно (21) вычисляем параметр В соответствии с (1.8) имеем перепад давления вдоль оси камеры Эта величина весьма невелика. Так, при для имеем Таким образом, можно считать давление на оси практически постоянным, что вполне согласуется с данными, представленными в [24].

Согласно (10) и (12) при использовании (17) получаем

В препринте [24] значения отнесены к средней расходной скорости при

При

Для расчета относительной окружной скорости достаточно проинтегрировать уравнение (14) с использованием (17) при условиях до значения После этого вычисляется по формуле

Зависимость (27) и (28) изображены на рис. 83. Крестиками (для и кружками (для нанесены опытные данные из [24]. Учитывая разницу менаду реальной вихревой камерой и пористой вращающейся трубой, а также неизбежную погрешность эксперимента, согласие теории с измерениями следует признать хорошим.

Рис. 83.

Рис. 84.

Отметим, что в разобранном примере турбулентная вязкость достаточно велика, поэтому окружная скорость монотонно падает в направлении к оси камеры. При больших числах Рейнольдса расчетная зависимость имеет максимум, который наблюдается и в эксперименте.

К сожалению, поля скоростей в вихревых камерах не поддаются универсальному обобщению. Поэтому приходится довольствоваться отдельными сопоставлениями. Однако для режимов второго типа существует универсальная характеристика — относительный радиус циркуляционной зоны которая определяет всю гидродинамику вращающегося потока. От зависит положение максимума и значение максимальной окружной скорости, проходное сечение для основного потока, гидравлическое сопротивление камеры, наконец, ее акустические свойства. Зависимость для случая может быть легко построена следующим образом. По данному определим значение (см. рис. 82), по формуле (18) найдем тогда где ненулевой корень функции (17). Хотя это фиксированное число, величина убывает до нуля с ростом до бесконечности, что физически совершенно естественно. При строится численно.

Зависимость найденная из условия минимума диссипации энергии, показана на рис. 84 в виде кривой 1. Здесь же кривой 2 нанесены значения радиуса воронки, вычисленные для идеальной жидкости [37]. Как видим, для режимов сильного вращения (малые Л) значения в затопленном и кавитационном режимах совпадают. С ростом появляется отличие, которое при приобретает катастрофический характер, ибо обращается в нуль! Это означает, что циркуляционная зона схлопывается и при может существовать лишь прямоточный режим истечения.

Заметим, что кавитационная полость в невязком потоке схлопнуться не может из-за появления бесконечных скоростей, так что расхождение кривых при больших закономерно (удивительным скорее является их согласие при малых ). Отметим также, что если кривая 2 подтверждена многочисленными измерениями, то для затопленных режимов данных почти нет. По-видимому, это связано с трудностями измерения, как правило, малой радиальной скорости, по нулевому значению которой определяется величина Тем не менее кое-какие опытные данные имеются и они качественно и даже количественно подтверждают вывод о неизбежности схлопывания циркуляционной зоны.

Практически увеличение параметра проще всего осуществить путем уменьшения а за счет диафрагмирования выхода из камеры. Указание на то, что при малых а в камере возможен только прямоточный режим, содержалось еще в [33]. В работах [24, 25] указано, что при относительном радиусе диафрагмы 0,05 зона разрежения в камере отсутствует. По имеющимся там данным нетрудно найти, что в этой камере было В диссертации [122] приведена эмпирическая формула для определения радиуса зоны разрежения: Согласно этой формуле при Отметим, однако, что условие является косвенным признаком схлопывания циркуляционной зоны и зависимость нуждается в прямой экспериментальной проверке. Отметим также, что подобный эксперимент требует достаточной осторожности из-за слабой устойчивости метастабильного режима второго типа при больших А.

Таким образом, предлагаемая вариационная модель, не использующая каких-либо эмпирических констант, вполне адекватно отражает особенности турбулентного вращающегося потока во всех его нетривиальных проявлениях.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление