Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ПОРИСТЫМ ВРАЩАЮЩИМСЯ ДИСКОМ И ПЛОСКОСТЬЮ

4.1. К истории вопроса

Начиная с основополагающей работы Кармана [187], где рассмотрено автомодельное решение полных уравнений Навье — Стокса над вращающимся диском, исследованию решений этого класса посвящено огромное количество работ. Бэтчелор [155] указал, что автомодельному классу Кармана принадлежат течения над вращающимся проницаемым диском с заданным вращением жидкости на бесконечности и течения между бесконечными вращающимися дисками, на которых задан равномерный вдув или отсос. На основе качественного анализа он сделал вывод о том, что при больших числах Рейнольдса течение между непроницаемыми

дисками представляет собой твердотельное вращение с тонкими пограничными слоями на дисках при условии, что диски вращаются в одну сторону; если же диски вращаются в противоположные стороны, то возникает внутренний пограничный слой, отделяющий области с твердотельным вращением разного знака.

Стюартсон [241] при анализе этой задачи пришел к другому выводу: вне пристенных пограничных слоев жидкость вообще не вращается. Таким образом, практически с самого начала исследований проявились недостаточность и противоречивость существовавших представлений. Последующие работы показали, насколько богата гидродинамика вязкой несжимаемой жидкости необычными свойствами на примере этой очень простой автомодельной задачи. Многие полученные результаты трудно было предвидеть заранее. В частности, были найдены оба типа решения, предсказанных Бэтчелором и Стюартсоном [194, 224, 205, 215]. В прекрасных обзорах (221, 262] можно найти изложение истории вопроса и характеристику современного состояния исследований задачи о кармановском автомодельном течении между двумя непроницаемыми дисками.

Одним из наиболее важных результатов анализа является растущая с числом Рейнольдса множественность автомодельных решений уравнений Навье — Стокса. Вновь рождающиеся решения изолированы от уже существующих и, как правило, характеризуются многоячеистой структурой [205], хотя неединственность обнаружена и для одноячеистых режимов. Множественность режимов течения между непроницаемыми дисками подтверждена экспериментами [205, 215, 166, 246], которые показали, что, хотя для определенной экспериментальной установки существует только один режим течения, тип его может быть разным на разных установках.

Эксперименты свидетельствуют о существенном влиянии краевых эффектов, простирающихся почти до половины радиуса дисков. В связи с этим были рассмотрены некоторые автомодельные задачи для течения между дисками конечного размера [152, 166, 159]. Численные решения показали, что в неавтомодельной постановке наблюдается только одно решение, причем оно неплохо согласуется с результатами эксперимента [166], применительно к условиям которого и был произведен расчет. Отсюда можно сделать вывод о том, что краевые условия на цилиндрической поверхности, ограничивающей диски, являются определяющими при выборе одного из возможных автомодельных решений. Однако вопрос о том, существуют ли такие внешние краевые условия, при которых реализуются устойчивые многоячеистые режимы, остается открытым. Вопросы устойчивости рассматриваемых течений обсуждаются в обзоре [262], укажем также работу [245].

Значительное число работ (см. [221, 262, 182, 183] и библиографию в них) посвящено численному исследованию задачи, при этом найдено большое количество решений. Определение всего множества решений при произвольно заданных угловых скоростях

вращения дисков встречает заметные вычислительные трудности. Они обусловлены тем, что все многоячеистые решения не возникают вследствие бифуркаций одноячеистого решения [230], а являются изолированными, что для гидродинамики, вообще говоря, нетипично.

Наличие дополнительных параметров вдува или отсоса значительно усложняет задачу. Это привело к тому, что более сложные течения между вращающимися дисками, на которых задан равномерный вдув или отсос, анализировались в основном вне связи с проблемой неединственности решений уравнений Навье — Стокса [243, 56, 169, 171, 170, 192, 185, 217, 214, 252, 254, 253, 168, 72, 106]. Однако наличие достаточно большого отсоса в задаче с неподвижными дисками приводит к неединственности нового типа, а именно, к бифуркации вращения, которая имеет нетривиальную физическую интерпретацию в виде спонтанной закрутки течения [48].

Возникает проблема описания всего множества решений для автомодельных течений кармановского типа в зависимости от величины угловых скоростей дисков и скорости равномерного вдува или отсоса. В определенной степени ее удается решить сведением краевой задачи о течении между вращающимся пористым диском и плоскостью к задаче Коши с двухпараметрическим семейством решепий [48]. Это делает проблему вполне обозримой и позволяет с помощью несложного алгоритма в принципе определить все семейство решений. Поскольку численные расчеты указывают на то, что существует множество изолированных решений, были предприняты многочисленные попытки строго доказать (или опровергнуть) существование таких решений. Для задачи с непроницаемыми дисками достаточно полное изложение соответствующих результатов можно найти в упоминавшихся ранее обзорах.

В случае задачи со вдувом или отсосом известны лишь отдельные частные результаты. Так, Элькрат [167] доказал теорему существования и единственности для невращательного движения жидкости между неподвижными пористыми дисками при произвольных равномерных вдувах или отсосах. Каких-либо точных результатов, касающихся автомодельного течения между вращающимися дисками с равномерным вдувом или отсосом, нет. Тем не менее невязкий анализ позволяет установить некоторые закономерности поведения решений и в этом случае.

В разд. 4.3 рассматривается общий вид невязкого вихревого решения, позволяющий установить в пределе исчезающе малой вязкости существование не более чем конечного числа решений при наличии вдува или отсоса, тогда как в случае непроницаемых дисков число решений не менее, чем счетно [221]. При невязкий анализ дополняется численным исследованием, при помощи которого определено существование решений различных типов на основе специально разработанного алгоритма.

Здесь, чтобы сделать решение автомодельной задачи о течении между двумя бесконечными пористыми дисками обозримым и доступным для анализа в целом, рассмотрим только задачу о течении жидкости между вращающимся пористым диском и неподвижной плоскостью. Эта задача качественно моделирует течение под телом на воздушной подушке и поэтому может быть интересна с практической точки зрения. Течение определяется двумя параметрами: числом Рейнольдса построенным по скорости вдува или отсоса, и параметром крутки где расстояние между дисками, угловая скорость пористого диска. Выбор параметра К, вместо традиционно используемого вращательного числа Рейнольдса или числа Экмана применительно к диску на воздушной подушке с вращением, более удобен, поскольку К характеризует только геометрию устройства, закручивающего поток (37]. В общем случае необходимы еще два параметра: отношение угловых скоростей дисков и отношение скоростей вдува или отсоса.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление