Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.3. Парадокс Гейзенберга — Линя

Данный парадокс относится к области гидродинамической устойчивости. Он состоит в утверждении, что только вязкость ответственна за неустойчивость течения в плоском канале при больших числах Рейнольдса. Тем самым опрокидывается интуитивное представление о том, что вязкости присуща лишь диссипативная роль, как это может показаться из вида соотношения (1.18): в случае жидкого объема с непроницаемой границей энергия движения действительно монотонно затухает из-за диссипации. Плоский канал является проточной системой, и поверхностный интеграл в (1.18) в нуль не обращается.

Рассмотрим некоторое стационарное течение с полем скорости на которое наложены возмущения Подставляя в (1.2) вместо сумму получим уравнения для возмущений

Умножение уравнения (16) на и интегрирование по области течения в предположении, что на границе дают уравнение для кинетической энергии возмущений

Первый член справа характеризует обмен энергии между возмущением и основным потоком, второй — вязкую диссипацию. Для неустойчивости первый член должен быть положительным. Его знак в каждой конкретной ситуации определяется детальным поведением возмущений. Если возмущения малы (по крайней мере на начальном этапе эволюции), то последний член в левой части (16) отбрасывается и решение оставшегося линейного уравнения разыскивается в виде бегущей гармонической волны

где продольное и трансверсальное волновые числа; С — комплексная фазовая скорость рассматриваемого возмущения Возмущение нарастает, если Рассматриваемое возмущение имеет форму бегущего волны, называемой волной Толмипа — Шлихтинга. Эта волна имеет сдвиговую природу и характеризуется одной и той же по всему сечению канала скоростью распространения

В плоском случае в силу теоремы Сквайра [44] достаточно изучение двумерных возмущений, для которых после исключения давления уравнение (16) приводит к уравнению Орра — Зоммерфельда

Здесь штрихами обозначено дифференцирование по поперечной координате у, от которой зависит основное плоскопараллельное течение комплекснозпачная амплитуда возмущения; С — искомое собственное значение, для определения которого необходимо найти нетривиальное решение уравнения (18) с однородными граничными условиями прилипания: Для невязкого течения при из (18) получается уравнение Рэдея

Известна теорема Рэлея [44], касающаяся роли точек перегиба на профиле для неустойчивости течения требуется смена знака в некоторой внутренней точке интервала Следовательно, течение Пуазейля

в невязком смысле должно быть устойчивым. Данное совершенно правильное утверждение, казалось бы, должно компрометировать линейную теорию устойчивости, поскольку эксперимент дает противоположный результат. Представить же наблюдаемую неустойчивость как следствие действия малой вязкости психологически довольно трудно. Тем не менее эта трудность была преодолена в работе Гейзенберга ([180], который первым пришел к выводу о неустойчивости течения (20) при достаточно больших но он не нашел критического значения за которым начинается неустойчивость. Работа Гейзенберга вызвала много споров об основах теории, и это не способствовало ее эффективному продолжению. После некоторого уточнения общей теории Линь [89] проделал подробные вычисления нейтральной кривой. Он пользовался асимптотическими методами и получил критическое число Рейнольдса -й Современные численные методы [44] решения уравнения (18) дают

Таким образом получаем, что именно малая вязкость ответственна за неустойчивость течения (20). Чтобы разобраться в

причинах этого явления, можно с помощью соотношения (17) определить область генерации энергии в потоке (20). Для нейтральных колебаний левая часть (17) обращается в нуль, поэтому можно записать

При записи (21) интегрирование по в (17) заменено осреднением возмущений за период, что и обозначено чертой в выражении для рейпольдсовых напряжений Величина выражает локальный избыток генерации энергии над диссипацией. Функции изображены на рис. 3 [43] для критических параметров течения Пуазейля (20): Здесь означает местоположение критического слоя, где

Приведенные данные иллюстрируют роль вязкости в процессе генерации энергии. Только вязкость порождает напряжение Рейнольдса поскольку уравнение Рэлея (19) имеет чисто вещественные решения и поэтому не может дать ненулевые значения [89]. С другой стороны, согласно (21) положительные значения могут получиться только при Характер функции также указывает на двойственную роль вязкости. Вблизи степки решающую роль играет вязкая диссипация и но ее влияние с удалением от границы быстро убывает. Резкое поведение объясняется существованием на стенке вязкого пограничного слоя для возмущений, где осуществляется сток пульсационной энергии.

Другая зона, где проявляется влияние вязкости, расположена в окрестности критического слоя. Здесь вязкость обеспечивает надлежащий сдвиг фаз («зацепление») между продольной и поперечной компонентами пульсационной скорости, который и приводит к появлению ненулевых напряжений Рейнольдса. На рис. 3 видно, что и достигают своих максимальных значений как раз в окрестности критического слоя который в данном случае расположен вблизи стенки.

Ситуация, когда днссипативные силы вызывают неустойчивость движения, не является новой в механике. В случаях, когда, например, движение системы без трения представляет собой гармонические колебания, мы

Рис. 3

склонны думать, опираясь на анализ известных примитивных случаев, что вследствие неучтенного трения истинное движение системы будет носить характер затухающих колебаний. Однако это заключение в ряде случаев ошибочно — существуют механические системы, в которых силы трения могут оказать дестабилизирующее влияние.

Пример такого рода приведен в [105]. Другой пример продемонстрирован в [13], где показано, что под влиянием внутреннего трения вращающийся вал может потерять устойчивость. Ясно, что такой процесс сопровождается увеличением энергии ротора. Но было бы ошибочным думать, что это происходит из-за положительной работы сил трения. Работа этих сил, разумеется, отрицательна. Но именно они создают условия для перекачки энергии от привода к ротору. Наконец, известен пример, принадлежащий Капице [98]. Теоретически и экспериментально установлено, что в подшипнике под влиянием вязкого трения ротор может потерять устойчивость и приобрести сложное движение в обойме. Принципиально отличным моментом для течения в канале является чисто гидродинамический аспект явления потери устойчивости вследствие действия диссипативного фактора.

С проблемой гидродинамической устойчивости связан ряд других парадоксальных особенностей, обусловленных, например, нетривиальными чертами предельного перехода Решения уравнения (18) отнюдь не всегда стремятся к решениям (19) при Данное утверждение очевидно, например, применительно к возмущениям, для которых те при но так, что произведение имеет конечный предел. Для течения (20) такие возмущения не очень интересны, поскольку являются затухающими. Однако существуют примеры один из них приводится в гл. 3 — когда предельный переход ведет к нейтральным возмущениям. Более неожиданные результаты получаются, когда в предельном переходе произведение Рассмотрим, например, устойчивость струи, характеризуемой профилем

Как показывает численный анализ [11, 44], диапазон неустойчивости по волновым числам при стремится к интервалу так что верхняя ветвь нейтральной кривой имеет горизонтальную асимптоту Для этих нейтральных колебаний критический слой совпадает с точкой перегиба на профиле (22).

Декременты возмущений при

Рис. 4.

нанесены на рис. 4 (кривая 1 отвечает симметричным по у возмущениям, для которых кривая 2— антисимметричным). Заметим, что для течения (20) неустойчивость обнаруживают лишь симметричные возмущения. Это приводит, как будет показано, к нарушению симметрии течения в канале при рассмотрении нелинейных возмущений. Кривая 1 примечательна тем, что иллюстрирует удивительное расхождение между чисто невязким и предельно невязким режимами. Если для нарастающих возмущений инкременты в обоих случаях совпадают, то при в чисто невязком случае а в предельном стремится к конечным отрицательным значениям. Это расхождение можно математически ликвидировать, если расширить уравнение (19) на плоскость комплексной переменной у и интегрирование производить не по вещественной оси, а обходя критическую точку снизу [89]. Тогда невязкая задача потеряет свойства симметрии, из-за которых уравнение (19) не может иметь собственные значения только с поскольку тогда должно существовать возмущение и с в силу комплексной сопряженности возможных значений С из-за вещественности коэффициентов уравнения (19).

При интегрировании по контуру, рекомендованному Линем [89], становятся возможными затухающие возмущения при отсутствии нарастающих.

Описанный парадокс сформулировал Линем в виде альтернативы: инкремент нарастающих возмущений в пределе вязкости, стремящейся к нулю, совпадает с инкрементом, получаемым для идеальной жидкости, а для затухающих возмущений такого совпадения нет. Однако есть пример, когда предел при не совпадает с результатом при и для нарастающих возмущений, т. е. альтернатива Линя неприменима [89].

Рассмотрим струю с профилем скорости не в виде гладкой функции (22), а с тангенциальными разрывами на границах, например, в виде кусочно-постоянной функции

Анализ устойчивости в рамках модели идеальной жидкости, сводится к решению уравнения Рэлея (19). В этом простом случав задача решается аналитически [11] и для нарастающих возмущений В случае вязкой жидкости уравнение Орра — Зоммерфельда (18) для профиля (23) также имеет аналитическое решение:

Рис. 5.

При решение продолжается симметрично. На разрыве при должны быть выполнены условия непрерывности возмущений скорости и потока импульса, что дает Подставляя в эти соотношения из (24) и требуя нетривиальной разрешимости системы однородных линейных уравнений для коэффициентов получим характеристическое уравнение [88]

К сожалению, на этом аналитическая часть решения заканчивается. Корни характеристического уравнения находились при помощи ЭВМ. Результаты приведены на рис. 5 (цифры 103, 104 означают величину числа Рейнольдса; кривая, помеченная символом соответствует предельной зависимости при кривая отражает результаты для идеальной жидкости). Как видим, в этом случае и для нарастающих возмущений предел -при не совпадает с рассчитанным по уравнению Рэлея. Невыполнение альтернативы Линя связано с наличием разрывов в профиле скорости основного течения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление