Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.2. Постановка задачи

Пусть координата соответствует неподвижной непроницаемой плоскости, вращающемуся пористому диску, через который осуществляется равномерный вдув или отсос жидкости. Уравнения Навье — Стокса для осесимметричного движения несжимаемой жидкости запишем в форме (обозначения стандартные)

Автомодельное решение кармановского типа будем искать в виде

В соответствии с (2.4) имеем где штрихом обозначено дифференцирование по Согласно тогда как согласно так что Следовательно, Для дальнейшего удобно положить где - искомая величина,

Таким образом, имеем

Подстановка полученных результатов в (1) дает уравнение

Дифференцирование этого уравнения по z позволяет исключить неизвестную величину а:

Аналогичным путем, исходя из (2), получаем уравнение

Для системы уравнений (8), (9), кроме начальных, ставятся краевые условия прилипания:

Количество условий (10) соответствует порядку системы (8), (9). Далее в основном изучается стационарная задача, в которой После обезразмеривания в стационарном случае появляются два независимых физических параметра: число Рейнольдса и степень закрутки потока

Даже в стационарном случае нелинейная краевая задача (8) — (10) трудна как для аналитического исследования, так и для численного решения. Для изучения всего множества возможных решений стационарную краевую задачу целесообразно свести к задаче Копти. Введем новые переменные, положив

В этом случае стационарные уравнения (7), (9) можно записать в форме, не содержащей параметров:

где штрихом уже обозначено дифференцирование по х. Заметим, что согласно (6) величина а имеет размерность так что переменные и 7 безразмерны. Начальные условия ставятся при

Задача содержит всего два параметра: что и позволяет провести полное исследование отдельно для Перебирая параметры можно получить все семейство решений исходной краевой задачи со всеми допустимыми значениями

Связь задачи Коши (12) — (14) с исходной краевой осуществляется путем интегрирования системы уравнений до такого значения где выполнено предпоследнее условие (10), т. е. Величины при этом определяются. С помощью (11) их можно без труда связать с исходными параметрами задачи Предварительно определив величину имеем

Задача Коши для каждого набора имеет единственное аналитическое решение, которому может соответствовать одно, несколько или ни одного значения где

Нетрудно вычислить силу взаимодействия потока со стенками, если воспользоваться выражением для тензора плотности потока импульса:

Исходя из (3), для стационарного случая нетрудно получить Тогда с учетом (11) и равенства находим

При расчете силы, действующей на диск большого радиуса В, последнее слагаемое можно не учитывать. Поэтому, выбирая константу из условия получаем выражение для подъемной силы:

Для момента сил на любой из стенок имеем

Намеченную программу проще всего реализовать численно, оставив аналитическое исследование лишь для предельных случаев.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление