Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.3. Физический анализ задачи

Прежде всего заметим, что величина 8 согласно (6) однозначно определяет знак радиального градиента давления. Значению соответствует зона повышенного давления вблизи оси симметрии течения, значению зона разрежения.

Строгий асимптотический анализ задачи представляет большие трудности и едва ли оправдан. Тем не менее для предварительного исследования качественного поведения решения полезно рассмотреть на физическом уровне предельные случаи исходя непосредственно из постановки стационарной задачи (8) — (10). В случае после отбрасывания нелинейных членов получаем Решение, удовлетворяющее условиям (10), имеет вид

Последнее соотношение показывает, что вдуву отвечает отсосу Связь между параметрами имеет вид

Без ограничения общности можно считать, что Тогда знак совпадает со знаком скорости V, так что в случае отсоса а вдува Все эти свойства вполне согласуются со здравым смыслом: при вдуве под диском формируется зона повышенного давления, при отсосе, наоборот, — зона разрежения.

Рассмотрим теперь стационарное «невязкое» решение, положив в (7) и В этом случае уравнение (9) легко интегрируется [165]:

С учетом (20) уравнение (7) принимает вид

и имеет общее решение

где произвольные постоянные. Из (21) и (22) следует, что для обращения в нуль необходимо иметь При как это непосредственно видно из (21), существует особое решение соответствующее твердотельному вращению Выражения (20) и (22) описывают четырехпараметрический

класс вихревых движений идеальной жидкости. Выбором параметров а в принципе можно удовлетворить четырем из шести условий (10). Какие именно условия следует взять для получения содержательного результата, выясняется из конкретной физической постановки задачи. Одним из важных физических требований в этом случае является отсутствие пограничных слоев на участках втекания жидкости [147]. Однако следует иметь в виду, что в процессе предельного перехода в результате образования пограничных слоев физические граничные условия (10) могут «стираться». Анализ и численные расчеты показывают, что так и происходит, при этом могут «стираться» не только условия прилипания, но и непроницаемости! В таком случае параметры решения должны определяться путем детального рассмотрения предельного перехода в полном вязком решении.

Достаточно полный анализ задачи в случае непроницаемых дисков изложен в упомянутых обзорах [221, 262]. В случае вращающихся пористых дисков с равномерным вдувом или отсосом ситуация качественно меняется. Прежде всего заметим, что невязкое решение (20), (22) способно удовлетворить пяти условиям из шести в (10). В случае вдува такое решение единственно и имеет вид

Решение (23) из всех условий (10) не удовлетворяет лишь условию прилипания поэтому естественно допустить, что при в вязком решении на непроницаемой стенке возникает классический пограничный слой. На проницаемом диске, поскольку рассматривается случай втекания, пограничный слой должен отсутствовать, что обеспечивается выполнением условия для решения (23).

Решение (23) является знакопостоянным лишь при Замечательно, что при условие прилипания также выполняется, так что решение (23) в этом случае заведомо является точным пределом вязкого решения при Отметим, что на этом решении параметр т. е. согласно Это видно из соотношения

которое получается подстановкой решения (23), (24) в уравнение (21). Если то решение (23) знакопеременно и описывает многоячеистый режим. Однако аналитическое решение (23) в окрестности точки такой что не является пригодным.

Это непосредственно следует из стационарного уравнения (9)

На аналитическом решении (23) оба слагаемых правой части (26) имеют нуль первого порядка, тогда как Следовательно, в окрестности точки вязкий член отбрасывать нельзя. Сказанное означает, что предельное решение при следует строить как составное из невязких решений, различных по разные стороны точки где возникает внутренний пограничный слой. Ситуация здесь такая же, как и в теории гидродинамической устойчивости, когда в результате вырождения дифференциального уравнения возникает критический слой [89]. Наиболее естественно искомое составное решение строится из физических соображений, если допустить, что при величина

Согласно (25) увеличение К от нуля до значения приводит к падению градиента давления до нуля. Дальнейшее увеличение вращения согласно (25) должно вызвать повышение давления вблизи оси, что физически представляется неприемлемым. Однако если при то в зоне решение имеет вид

Решение (27) характеризуется тем, что при не только но и т. е. в этой точке жидкость покоится. В таком случае и во всей зоне допустим покой. Такая возможность составного решения не является единственной. Например, в зоне допустимо «собственное» движение с полем скорости

где С — произвольная постоянная.

Следует отметить, что собственное решение (28) не является единственно возможным нетривиальным решением в области Эту область можно разбить на сколь угодно большое количество подобластей так, что в каждой полученной зоне осуществляется «собственное» движение типа (28).

Согласно Партеру [221], решения вида (27), (28) являются предельными для вязкого решения при Величина С в (28) может быть получена методом сращиваемых асимптотических разложений [165], которых! в данном случае сводится к следующему. В уравнении (26) принимается где в рассматриваемом случае вдува Решение линейного уравнения (26) получается аналитически в виде функции Куммера имеющей различное асимптотическое поведение

при так что

Разумеется, соотношение (29) справедливо лишь при условии, что движение имеется по обе стороны границы Из (29) видно, что при переходе через границу вращение жидкости изменяется на противоположное. Этот анализ показывает, что у сращиваемых решений при непрерывны , а более высокие производные имеют разрыв. Разрывность функции в точке при условии непрерывности предопределяет скачок константы к в соотношении

Пусть в области тогда в соответствии с (29) имеем . Записывая условия непрерывности в терминах составного невязкого решения (27) и определенного в некоторой области собственного решения вида

получим соотношения

которые ограничивают произвол в выборе подобластей с собственными решениями. В частности, сопоставляя (30) и (31), с учетом (27) имеем Следовательно, поскольку должно быть собственная циркуляционная зона может возникнуть лишь при Если то в области жидкость покоится. Заметим, что и при допустимо решение с при так что имеет место неединственность предельных режимов. Число подобных решений возрастает с ростом К. Обобщая соотношения (31), можно записать

где порядковый номер внутреннего пограничного слоя, отсчитываемый от вращающегося пористого диска. Нетрудно видеть, что местоположение -го внутреннего пограничного слоя определяется выражением

В силу ограничения получаем, что количество дополнительных зон с собственным движением определяется величиной К. Так, в соответствии с (32), (33) в интервале возможно существование

дополнительных зон. При этом зоной покоя может быть лишь непосредственно прилегающая к плоскости Поэтому числа возможных решений составляет Заметим, что при переходе к непроницаемым дискам, когда число решений неограниченно возрастает.

В случае отсоса решения (27), (30) также являются допустимыми. Однако метод сращиваемых асимптотических разложений, примененный в окрестности вращающегося пористого диска при условии непрерывности нормальной скорости дает Действительно, пусть в малой окрестности скорость имеет компоненты: Из уравнения (26) найдем

Это соотношение характеризует равновесие между диффузией вращения от торца в глубь жидкости и конвекцией за счет отсоса.

В пределе при величина а для всех В этом случае решение во внутренней области течения имеет вид

а при существует тонкий пограничный слой. Однако при наличии отсоса как уже упоминалось, существует особое невязкое решение Оно не может удовлетворить условию непротекания на плоскости, но уравнения Навье — Стокса (1) — (4) допускают существование неклассического пограничного слоя, на внешней границе которого дана нормальная скорость Для такого пограничного слоя стандартным образом можно получить оценки

где толщина пограничного слоя. Оценки (35) обусловливают существование интенсивных приграничных течений с большими касательными скоростями. В частности, весь радиальный поток сосредоточен вблизи стенок Эти пограничные слои совместимы с особым решением поэтому допустим невязкий предел

и наряду с решением (34) существуют решения вида

Решение (36), (37) необычно в двух отношениях. Во-первых, оно характеризуется разрывами нормальной скорости на границах Во-вторых, внутреннее вращение становится сколь угодно большим при независимо от заданного значения что свидетельствует о генерации вращения внутри

области течения. Но тогда можно ожидать такой генерации и при Если это так, то должно найтись при котором подобное самовращение возникает впервые, поскольку при малых решение (18) единственно. Как известно, явление прямой бифуркации сопровождается потерей устойчивости исходного режима [3]. Поэтому для нахождения предполагаемой точки бифуркации применим энергетический метод.

Рассмотрим задачу об отсосе через верхний покоящийся диск при произвольных Эта задача имеет единственное решение в предположении [167]. Умножая нестационарное уравнение (9) для -компоненты скорости на со и интегрируя по z от до приходим к энергетическому равенству

где произведено интегрирование по частям с учетом граничных условий прилипания Если при уменьшении правая часть (38) становится положительной, исходное движение теряет устойчивость по отношению к вращению. Это заведомо произойдет, если второе слагаемое положительно, а первое обращается в нуль при Для оценки потери устойчивости достаточно ограничиться случаем малых когда основное течение описывается решением без вращения, которое при на верхней стенке переходит в (34) с образованием обычного пограничного слоя. Поэтому при малых вязкостях первый член в правой части (38) можно оценить, используя подход теории пограпичного слоя

где толщина пограничного слоя по скорости а со о — некоторая характерная угловая скорость вращения. Таким образом, при вклад этого интеграла пренебрежимо мал.

Используя результаты работы [167], можно показать, что решение задачи без вращения монотонно: для отсоса а для вдува при для всех значений вязкости В частности, в случае отсоса невязкий предел имеет вид (34). Поэтому второе слагаемое в правой части (38) положительно. Итак, решение с отсосом без вращения при достаточно больших числах Рейнольдса неустойчиво относительно вращательного движения. В случае вдува из (38) следует затухание вращения при всех

Как уже указывалось, возникновение вращательной неустойчивости с ростом числа Рейнольдса, которая имеет место при отсосе через верхний диск, является признаком бифуркации стационарного решения. Исходя из уравнения (38), можно оценить число

Рейнольдса, при котором происходит такая бифуркация. Для этого используем известное неравенство Куранта

в виде оценки, где знак больше или равно заменен на знак равенства по порядку величины. Второй интеграл в правой части уравнения (38) оценим, учитывая, что величина не меняет знака, в следующем виде:

где V — скорость отсоса через верхний диск. Отсюда найдем, что критическое число Рейнольдса, при котором правая часть (38) обращается в нуль, имеет значение

Оказывается, что, несмотря на грубость приведенной оценки, точный расчет значения числа Рейнольдса, при котором наблюдается бифуркация вращения, приводит к величине, очень близкой к значению (40).

Помимо полученных результатов соотношение (38) может быть использовано для оправдания существования особых стационарных решений (36), (37) с неклассическими пограничными слоями. Действительно, для таких решений оба члена в правой части (38) имеют одинаковый порядок при

что и является необходимым условием существования стационарного режима. Численное исследование эволюции автомодельных решений подтверждает существование устойчивых особых стационарных решений (см. разд. 4.5).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление