Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.4. Результаты численных расчетов

В соответствии с программой, намеченной в разд. 4.2, решению подлежит задача Коши (12) — (14). Рассмотрим характерный пример поведения иптегральных кривых при фиксированных значениях и различных Даппые расчета представлены на рис. 85, где приведены четыре интегральные кривые. Для решения краевых задач необходимо искать значения

Рис. 85.

такие, что Рис. 85 свидетельствует в пользу того, что в конечном счете все кривые уходят причем это происходит при конечных как это типично для нелинейных уравнений. Судя по результатам многочисленных расчетов, данное свойство «притяжения» решений к имеет место при всех значениях за исключением некоторых специальных случаев, например при функция ограничена при всех Если и положительны, то функция при нулей не имеет. То же имеет место при и достаточно больших как об этом свидетельствует кривая 1, построенная для на рис. 85.

Уменьшение приводит к появлению двукратного нуля у функции (см. рис. 85,2; ). С дальнейшим уменьшением нули разделяются (см. кривую 3; затем происходит рождение новой пары корней (кривая ). Мы видим, что одной и той же задаче Коши с фиксированными может соответствовать несколько решений краевых задач с различными значениями и соответственно физическими параметрами В случае число таких «родственных» решений четпо, а при нечетно независимо от С уменьшением до нуля число родственных решений неограниченно возрастает. В то же время при и всех значениях из множества для решение единственно и не осциллирует.

Этот неравномерный предельный переход имеет место и при других допустимых значениях для для при которых, если нет ни одного решения. Следует подчеркнуть, что описанный процесс рождения пар родственных решений, хотя непосредственно и не означает неединственности решений исходной краевой задачи, тем не менее имеет к этому определенное отношение, как. будет видно из дальнейшего.

Все расчеты проводились методом Рунге — Кутта — Мерсона с автоматическим выбором шага при относительной погрешности Для определения числа родственных решений или, что то же самое, числа нулей функции для данных расчет проводился до тех пор, пока значение функций не превышало 1010, что рассматривалось как свидетельство их обращения в бесконечность.

Рис. 86.

Практически для всех рассмотренных случаев соответствующее значение не превышало 100. В процессе каждого расчета по формулам (15) определялись физические параметры Отметим, что в силу определения числа соответствует отсосу через верхний пористый диск, вдуву, при этом при приходится рассматривать все значения К от до поскольку из-за возможной знакопеременности отмеченной в разд. 4.3, может выработаться значение Для описания всех решений краевых задач необходимо найти все родственные решения каждой задачи Коши.

Области существования родственных решений на плоскости для случая показаны на рис. 86, а для рис. 87. В области выше кривых (см. рис. 86) решений, удовлетворяющих граничным условиям (10), нет. Ниже этих кривых появляется пара родствепных решений. Ниже кривых 2 и 2, вплоть до кривых 4 и 4, имеются четыре родственных решения и т. д. Все кривые рождения пар родственных решений пересекаются в особой точке ), являющейся фокусом, на который они наматываются. При стремлении к этой точке все Кроме того, вблизи штриховой линии и оси также все кроме Штриховая линия разделяет область существования решения на две подобласти, свойства решений для которых существенно отличаются. На этой кривой так же, как и на оси все кроме значения которое остается конечным и изменяется непрерывно. Значения кроме на штриховой линии испытывают скачок от до Тем самым правее штриховой линии располагаются режимы со знакопеременным вращением.

Рис. 87.

При величина что соответствует решению задачи о равномерном отсосе без вращения. Величина на пекоторой кривой непрерывным образом изменяет знак. В режимах, отвечающих этой кривой, жидкость вращается, хотя диски неподвижны. Бифуркация такого самовращеиия, которое обсуждалось в разд. 4.3, происходит в точке пересечения линий За меру интенсивности вращения в этом случае удобно принять величипу (величина следовательно, не может служить характеристикой вращения).

На рис. 88 представлены изолинии для одноячеистых режимов на плоскости параметров Изолинии с исходят из точки . С ростом все изолинии стремятся к асимптоте Кривая есть кривая самовращения. Самовращение возникает при критическом значении что вполне согласуется с оценкой разд. 4.3. Как видно из рис. 88, возбуждение мягкое, что свидетельствует об устойчивости нового режима и неустойчивости исходного [3].

Решения с могут быть получены из решений для непрерывным образом. Для этого достаточно склеить плоскости рис. 86 и 87 вдоль оси и соединить полуплоскости на бесконечности. При этом кривая 2 на рис. 86 будет непрерывно переходить (на бесконечности) в кривую 1 на рис. 87, кривая 4 — в кривую 3 и т. д. При пересечении оси справа налево одно из решений с плоскости переходит на плоскость где решения существуют только при На плоскости существует особая точка в которой сходятся все кривые но в отличие от аналогичной точки на плоскости она имеет структуру не фокуса, а узла.

В области на плоскости режим одноячеистый. Бифуркации вращения на линии в отличие от случая отсоса не происходит. На отрезке число Рейнольдса конечно, на

Рис. 88.

Рис. 89.

луче бесконечно. Карта режимов в физических переменных и К представлена на рис. 89. В областях I, III, V и т. д. существуют соответственно одно, три, пять и т. д. решений. Эти решения отличаются топологически как по числу ячеек, так и по наличию противовращения. На рисунках представлены схемы с характерным поведением скоростей (сплошные линии) и (штриховые линии). Сплошной рамкой обозначены решения устойчивые, а штриховой — неустойчивые относительно автомодельных возмущений.

В области I решение устойчиво и имеет знакопостоянное вращение. Ниже штриховой кривой 1 это решение имеет одну ячейку выше ее — две ячейки Кривая 2 есть граница области III, в которой кроме указанного устойчивого решения имеется еще два неустойчивых решения Оба имеют знакопеременное вращение, но первое — одноячеистое, а второе — двухъячеистое. Дополнительные вращения не связаны бифуркационной кривой с исходным устойчивым решением. В области V (выше кривой 3) добавляются еще два решения, причем оба характеризуются знакопеременным вращением и являются неустойчивыми.

Представляет интерес сравнение результатов невязкого анализа (см. разд. 4.3) с численными расчетами при больших числах Рейнольдса. Следует отметить, что практически в рамках предлагаемого метода расчета имеется возможность получать решения при больших числах Рейнольдса только в случае вдува. В случае отсоса с ростом при данном К величины асимптотически, навиваясь на предельную точку, что значительно увеличивает требования к точности расчета и при

доступной машинной точности не позволяет получать решепия с большими значениями С другой стороны, как было указано в разд. 4.3, при отсосе возникают неклассические пограничные слои, что отражается в указанных трудностях численного расчета.

Возможная качественная картипа поведения решений при в случае вдува представлена в разд. 4.3, где было отмечено, что дополнительные решения возможны лишь при Этому факту на первый взгляд противоречит наличие решений типа в области III (см. рис. 89), которые имеют максимум скорости внутри области течепия, чего может быть для решепия (27). Численные расчеты показывают, что при увеличении числа внутреппее движение усиливается в гораздо большей степени, чем течение вблизи границы так что в пределе решение стаповится близко к «собственному», соответствующему решепию (23) при

Следовательно, решепия типа конечного предела не имеют. Возможно, именно этим объясняются затруднения при численных расчетах таких решепий. Удается достигнуть значений чисел Рейнольдса, не превышающих 50, тогда как число Рейпольдса, построенное по максимуму скорости, составляет в этих случаях Изложенные характерные особенности течения ставят вопрос о строгом математическом анализе предельного перехода при К, больших или меньших Впрочем, как будет показано, все такие решения неустойчивы и физического интереса не представляют.

Решения, возникающие в области V, имеют копечпые невязкие пределы, соответствующие составным решениям (27), (30), (31). Это подтверждается свойствами численных решепий при больших значениях Так, величина является в случае малых вязкостей адиабатическим инвариантом, изменяющимся скачком при переходе через внутренний пограничный слой по закону совпадающему с (32). Таким бразом, результат (29), полученный методом сращиваемых асимптотических разложений, получил численное подтверждение на полном вязком решении.

Карта режимов для течепия с отсосом представлена на рис. 90. В области имеется одно стационарное решение, в областях III, III — три, в областях пять и т. д. решений. В рамках представлено характерное поведение скоростей (обозначения те же, что и на рис. 89). В области решение устойчиво и имеет одну ячейку со знакопостоянным вращением. При переходе через штриховую кривую 1 характер течения, соответствующего этому решению, изменяется, Кривые 2 и 3 являются границами областей III и III соответственно, область пересечения которых обозначена как Граница 2 начинается в точке так что решепия в области III своим происхождением обязаны наличию бифуркации вращения в этой точке. Одно

Рис. 90.

из них неустойчивое, другое устойчивое, Оба решения являются одноячеистыми со знакопеременным вращением. При переходе через штриховую кривую 6 характер течения, отвечающего первому решению, изменяется, В области III имеются два дополнительных неустойчивых решения но они не связаны бифуркационной кривой с предыдущими решениями. Оба этих решения имеют знакопеременное вращение. Решение двухъячеистое, а трехъячеистое. При переходе кривой 4 в область V характер течения изменяется так, что неустойчивое решение переходит в устойчивое При переходе границы, составленной из верхней части кривой 4 и штриховой кривой 5 решение преобразуется в оставаясь неустойчивым.

Таким образом, в области левее кривой 2 существует единственное устойчивое решение а в области правее ее существуют два метастабильных решения и В области правее кривой 4 имеется три метастабильных режима течения Границы получены проекцией на плоскость трехмерных тел, изображенных на рис. 91 и 92, причем устойчивый режим течения Схсоответствует аномально большим подъемным силам. Как было показано в разд. 4.3, в случае отсоса асимптотически возможны только три типа решений. На рис. 90 их больше. Дело в том, что, как и в случае вдува, не все решения имеют конечный

Рис. 91. (см. скан)

невязкий предел. Таковыми на рис. 90 являются решения типа С, хотя следует отметить, что при конечных К некоторые из них устойчивы.

Как уже указывалось, в случае вдува течение между дисками моделирует поток под телом, подвешенным на воздушной подушке. Интересно проследить влияние вращения пористого диска (тела) на величину подъемной силы. На первый взгляд, вращение должно уменьшать подъемную силу, действующую на пористый диск. Это действительно так для одноячеистых решений. Для многоячеистых решений ситуация резко меняется. На рис. 91 представлены семейства одноячеистых решений в виде поверхности в трехмерном пространстве где подъемная сила, определенная согласно (16). Подъемная сила на рис. 91 представлепа в безразмерном

виде величиной (см. (16)). Поверхность решений образована изолиниями

Эта поверхность имеет две несвязанные части и довольно сложный вид. На переднем плане, который соответствует течению с отсосом, нетрудно заметить неединственность решений, возникающую из-за бифуркации вращения. Эта бифуркация образует глубокую складку на поверхности решений и приводит к появлению решений с большими отрицательными значениями подъемной силы. Из этой фигуры видно, что на задпем плане для другой, несвязанной части поверхности решений, отвечающей вдуву, также существует область значений чисел где решение неединственно, а именно, можно найти такие при которых реализуются решения с разными по величине подъемными силами.

Как и следовало ожидать, положительная подъемная сила возникает лишь для течений со вдувом и уменьшается с

Рис. 92. (см. скан)

ростом параметра крутки К до нуля на штрнхпунктирной кривой. При больших значениях К подъемная сила отрицательна. При дальнейшем увеличении К решение становится неединственным, что проявляется в неодносвязности поверхности. На плоскости разрыву поверхности соответствует особая точка при Следует отметить, что выбор области с положительными К не обязательно соответствует значениям а в силу инвариантности функции относительно замены на или, что то же самое, К на — К, поверхность решений преобразуется симметрично относительно плоскости поскольку при таких заменах меняет только знак.

Поверхность в трехмерном пространстве отвечающая решениям с двумя-тремя ячейками, представлена на рис. 92 для случая отсоса На поверхности нанесены те же изолинии Она имеет довольно сложный вид, причем возможны самопересечения. Интересная особенность рассматриваемых

Рис. 93. (см. скан)

решений заключается в том, что положительная подъемная сила возникает теперь в задаче об отсосе, а ее величина более чем на порядок превышает значение подъемной силы в задаче о вдуве с одноячеистыми решениями при тех же и Парадоксальным оказывается поведение дополнительных решений и при вдуве который приводит кочень большой топящей силе. Это проиллюстрировано на рис. 93, где представлена поверхность в -пространстве, отвечающая дополнительным решениям области III (см. рис. 89). Если упомянутые решения с отсосом окажутся устойчивыми, то их было бы заманчиво использовать на практике для получения высоких значений подъемной силы для тела на воздушной подушке. Поразительно, что для этих целей необходимо организовать отсос (!), а не вдув.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление