Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.5. Устойчивость

Ниже проблема устойчивости рассматривается в узком смысле автомодельной эволюции путем решения нелинейной начально-краевой задачи (8) — (10). Уравнения (8), (9) можно записать в безразмерной форме в виде системы

где Граничные условия (10) для функции приобретают вид

где знак плюс отвечает отсосу, а минус — вдуву через пористый диск. В терминах величины 6 два последних условия (42) можно записать в интегральном виде

Для величины имеем следующие граничные условия:

Начальные условия для функций и, 0, со должны удовлетворять в остальном произвольны. Расчеты проводились по явной схеме конечно-разностным методом второго порядка точности, причем интегральные условия (43) выполнялись алгебраически точно с использованием формулы трапеций. Эти условия служат для вычисления граничных значений по внутренним значениям функции что позволяет для уравнения (41) на

Рис. 94.

каждом временном шаге использовать граничные условия первого рода.

Прежде всего была исследована устойчивость течения, отвечающего спонтанной закрутке жидкости между неподвижными дисками. Как и следовало ожидать, решение без вращения потеряло устойчивость при отсосе, когда число Рейнольдса превысило критическое значение и эволюционировало к ранее найденному стационарному решению с вращением. При этом до чисел Рейнольдса эволюция носила монотонный характер, а при больших — осцилляционный. Профили скоростей для установившегося режима при представлены на рис. время установления

Исследование устойчивости решений в случае вдува показало, что устойчивыми являются только одно- и двухъячеистые режимы течения типа а (рис. 89), азимутальная скорость которых нигде в области знака не меняет. Эти режимы существуют при всех значениях чисел Все дополнительные решения, отвечающие знакопеременной функции являются неустойчивыми. Расчеты показали, что с ростом устойчивые решения стремятся к иевязкому пределу (23), (24) или (27), если В последнем случае реализуются решения с внутренним пограничным слоем. Таким образом, для любых заданных и К в случае вдува устойчивое решение единственно.

В случае отсоса картина течения претерпевает существенные изменения. Первое, что необходимо отметить, это наличие нескольких стационарных устойчивых режимов течения (см. рис. 90). Так, кроме одноячеистых решений типа А со знакопостоянной азимутальной скоростью существуют устойчивые одноячеистые решения типа со знакопеременной Наличие нескольких устойчивых стационарных решений тесно связано с упоминавшейся ранее бифуркацией вращения. Кривая 2 на рис. 90, ограничивающая область существования дополнительного устойчивого решения, начинается в точке В области правее кривой 2 решения бистабильны. В зависимости от того, является ли начальное распределение знакопостоянным или меняет знак внутри области течения, эволюция приводит к тому или иному стационарному решению.

Отметим, что правее кривой 2 (см. рис. 90) появляются два дополнительных стационарных решения, но только одно из них устойчиво. Выше кривой 3 появляются еще два новых неустойчивых стационарных решения. Однако при переходе через кривую 4 одно из решений становится устойчивым, причем его топологическая структура несколько меняется. Это решение имеет две ячейки и знакопеременное вращение. Оно отвечает большим подъемным силам, действующим на пористый вращающийся диск.

Таким образом, решения с большой подъемной силой, о которых шла речь в предыдущем разделе, в некотором диапазоне параметров К оказываются устойчивыми, а точнее, — метастабильными. Им соответствует фронтальная часть поверхности с на рис. 90. К этим решениям, в частности, эволюционируют двух-трехъячеистые распределения скорости со знакопеременной со Однако с ростом стационарное решение с большой подъемной силой все теряет устойчивость и возникает периодическое по времени решение, т. е. рождается устойчивый предельный цикл.

На рис. 95 для случая представлена зависимость от времени безразмерного трения и величины Как видим, решение является периодическим с безразмерным периодом При дальнейшем увеличении зависимость от времени усложняется. Такое поведение решения краевой задачи (41), (42) качественно напоминает поведение решений динамических систем, в частности систему Лоренца. Поэтому не исключено, что существует критическое число Рейнольдса при котором притягивающее множество нестационарных решений обретет черты странного аттрактора и решение станет стохастическим. К сожалению, исследование поведения решения нестационарной краевой задачи (41), (42) эволюционным путем с ростом становится все более затруднительным, а наличие дополнительного параметра еще больше усложняет задачу. Поэтому возникновение стохастичности для точных решений уравнений Навье — Стокса,

Рис. 95.

Рис. 96.

каковыми являются рассматриваемые автомодельные решения, требует дополнительных аналитических и численных исследований.

Другим нетривиальным свойством решений с отсосом является пеклассический невязкий предел при Как уже указывалось в разд. 4.3, при наличии пограничного слоя на пористом диске при который реализуется лишь в случае отсоса, невязкое решение может вести себя весьма нестандартным образом (см. (36), (37)). Для указанного решения не выполняются не только условия прилипания, но и иепротекания Численные расчеты при больших показали, что именно невязкий предел оказывается устойчивым в смысле автомодельной эволюции.

Характерные профили скоростей представлены на рис. 96 при в момент времени (время установления Решение получено эволюцией некоторого произвольного начального распределения скоростей, удовлетворяющего граничным условиям и Результатом эволюции является решение с в ядре потока и с неклассическими сильными пограничными слоями вблизи твердых границ течения При переходе через эти пограничные слои осуществляется скачок нормальной скорости К этому пределу стремятся оба устойчивых одноячеистых решения (см. рис. 90), причем бистабильность течения сохраняется и при что согласуется с (37).

Проблема устойчивости решений рассмотрена лишь в классе произвольных автомодельных возмущений. В общем случае она весьма обширна и нуждается в самостоятельном исследовании.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление