Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.6. Обсуждение результатов

Некоторые из полученных результатов требуют дополнительного обсуждения и интерпретации. В первоначальной постановке задача об автомодельных решениях формулируется в бесконечной области с неограниченными на бесконечности скоростями Не этим ли обусловлены выявленные свойства полученных решений? Одним из таких свойств является неединственность. Если рассмотреть осесимметричное течение в конечной цилиндрической области радиуса то полная постановка краевой задачи включает в себя задание поля скоростей при При этом автомодельным решениям будут отвечать лишь специальные автомодельные граничные условия. Поскольку разным автомодельным решениям отвечают различные краевые условия, неединственность автомодельных решений не означает неединственности решений исходной краевой задачи. С этой точки зрения полученная неединственность формально является фиктивной. Однако она может иметь реальное физическое содержание, если допустить, что автомодельные решения обладают свойством асимптотической устойчивости по отношению к вариациям краевых условий при

Это означает, что при отходе от автомодельных граничных условий при течение все равно стремится к автомодельному в ядре потока, а детали распределения скоростей при «забываются» в некоторой переходной неавтомодельной зоне. Такое поведение вообще характерно для диссипативных систем и не является невозможным для рассматриваемой задачи при условии устойчивости соответствующих автомодельных режимов. В данном случае пространство всевозможных краевых условий разбивается на ряд подпространств, которые стягиваются к соответствующим автомодельным решениям. Если это так, то неединственность автомодельных решений будет соответствовать действительной неоднозначности предельных режимов течения в области небольших При этом роль краевых условий при сведется к переключению режимов. Эксперимент, по-видимому, подтверждает это. Как уже упоминалось, в разных экспериментальных установках при одинаковых числах Рейнольдса наблюдались разные автомодельные режимы течения.

Обсуждаемое свойство неединственности наиболее ярко проявляется при бифуркации вращения в случае отсоса. Спонтанное возникновение вращения в чисто осесимметричном случае на первый взгляд кажется невозможным. Это непосредственно следует из уравнения (2), представляющего квазилинейное уравнение для циркуляции Поскольку уравнение не содержит самой величины для него справедлив двухсторонний принцип максимума [80]: максимум и минимум достигаются на границе области. Значит, если на границе то произвольное начальное возмущение будет затухать. Но этот, безусловно, верный вывод относится лишь к течениям, «закрепленным» на границе условием

Следовательно, применительно к таким случаям возникновение самовращения возможно лишь вследствие действия довольно тонкого механизма: сначала течение теряет устойчивость по отношению к неосесимметричным возмущениям, а затем развивается устойчивый вторичный режим, имеющий ненулевое среднее вращение. Именно таким путем возникает при определенных условиях самовращение круглой струи [37].

Рассматриваемое в настоящей работе движение не является «закрепленным» на своей внешней цилиндрической границе. Напротив, кармановское решение (5) удовлетворяет условию отсутствия вращательного касательного напряжения

т. е. любая внешняя граница может считаться «свободной» для вращательного движения. При граничном условии (45) запрет на возможность спонтанного возникновения вращения снимается и в принципе оно могло бы наблюдаться на опыте. Это наверняка

бы произошло в случае однородных краевых условий

которые совместно с условием (45) допускают существование точного автомодельного решения кармановского типа во всей области течения. Однако граничные условия (45), (46) не являются стандартными для гидродинамической задачи, и вопрос об их физической реализации на опыте остается открытым. Ясно, что одним из путей приближенной реализации условия (45) является задание надлежащего внешнего вращения при Но тогда проблема бифуркации вращения приобретает иной смысл и должна быть переформулирована.

Пусть дано распределение на границе Тогда при стационарное автомодельное решение тривиально: В этих условиях следует ожидать возникновения неавтомодельной зоны, где осуществляется быстрое падение реального со от до так что вращение в автомодельном ядре течения практически отсутствует. В случае так что вращение должно проникать в ядро и достигать там вполне определенной величины, зависящей лишь от значения но не от При этом, если вновь должна возникнуть зона неавтомодельности, где со быстро убывает с уменьшением В случае же в неавтомодельной зоне должно иметь место нарастание что вполне совместимо со стремлением жидкости сохранять циркуляцию впрочем при автомодельное вращение может и не достигаться.

С точки зрения приведенных рассуждений бифуркация вращения означает качественную перестройку потока при что допускает экспериментальную проверку. С этой целью нами были поставлены специальные опыты. Схема экспериментальной установки представлена на рис. 97 (1 — подвод жидкости (дистиллированной воды) под давлением; 2 — распределительные отверстия; 3— прозрачная крышка; 4 — прозрачный неподвижный диск, 5— подвод жидкости, закручивающей основной поток; 6 — неподвижный пористый диск; 7 — исследуемая область течения вывод жидкости; 9 — подвод красителя через тонкий капилляр для визуализации течения).

В качестве пористого диска была использована жесткая металлическая сетка, вследствие чего условия прилипания на пористом диске (сетке) не выполняются из-за наличия участков скольжения между соседними проволочками. Для того чтобы результаты экспериментов можно было сопоставить с теорией, была рассчитана задача с условиями скольжения на пористом диске

Рис. 97.

которые в переменных имеют вид

В этом случае также имеет место бифуркация вращения одноячеистого решения, представленная на плоскости К рис. 98. Критическое число Рейнольдса составляет

В наших опытах для обнаружения бифуркации вращения на внешней границе дисков создавалась достаточно большая постоянно действующая закрутка течения, без которой вращение не наблюдалось. При помощи визуализации подкрашенными струйками было обнаружено, что при в приосевой области течение остается незакрученным при всех доступных в опыте внешних закрутках. При ±0,1 происходит перестройка течения с возникновением вращения вблизи оси, не зависящего от величины внешнего вращения. Тем самым проведенные эксперименты подтверждают существование бифуркации вращения и говорят об устойчивости вращательного режима течения. Таким образом, утверждение об устойчивости вторичного режима с вращением относительно автомодельных возмущений, полученного численно эволюционным путем (см. разд. 4.5) оказывается верным и для любых возмущений. Это позволяет надеяться, что решения с большой подъемной силой, устойчивые относительно автомодельных возмущений, можно реализовать экспериментально, хотя следует иметь в виду, что в условиях неединственности они могут оказаться метастабильиыми с неизвестным «запасом» устойчивости.

Рис. 98.

Рис. 99.

Следует иметь в виду, что для экспериментальной реализации двухъячеистых течений с большими подъемными силами типа (рис. 90) граничные условия при должны соответствовать двухъячеисгой структуре течения, представленной на рис. 99, где изображены линии тока (в левом верхнем углу) и профили скоростей (кривые 1) и (кривые 2) для решения с отсосом. Это решение получено эволюцией при (время установления и нормировано на скорость отсоса. Практически это означает необходимость сильного периферийного вдува с интенсивной закруткой. С этой точки зрения представляется совершенно естественным возникновение больших подъемных сил в случае отсоса с противовращением, что, по всей вероятности, стабилизирует течение с зоной высокого давления под диском. Эти соображения было бы интересно подвергнуть экспериментальной проверке.

Таким образом, установлена неединственность и сложная зависимость от параметров класса точных автомодельных решений уравнений Навье-Стокса для течения несжимаемой жидкости между вращающимся пористым диском и непроницаемой неподвижной плоскостью. Наиболее ярко эта неединственность проявляется в парадоксе нарушения симметрии — бифуркации вращения для течения между неподвижными диском и плоскостью при достаточно интенсивном отсосе.

Другим парадоксальным свойством течения является аномально большое возрастание подъемной силы при некоторых скоростях вращения диска и отсоса жидкости, причем реализующиеся режимы течения устойчивы в смысле автомодельной эволюции. С возрастанием скорости отсоса эти режимы становятся нестационарными. При больших отсосах реализуются два устойчивых стационарных режима течения с неклассическими пограничными слоями на твердых границах течения. В случае вдува имеется единственное

устойчивое стационарное решение. Экспериментально подтверждена бифуркация вращения, что позволяет надеяться получить опытным путем режимы с отсосом и аномально большой подъемной силой.

Разумеется, все результаты получены для ламинарных течений. Однако, поскольку найденные решения характеризуются объемными градиентами и внутренними пограничными слоями, можно предположить, что турбулентность будет свободной. Тогда результаты анализа сохранят силу, если ввести постоянную турбулентную вязкость [37]. Эти соображения дают основание для более глубокого экспериментального исследования рассматриваемого движения не только для его изучения, но и для возможных практических приложений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление