Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Глава 4. НЕАВТОМОДЕЛЬНЫЕ ЗАТОПЛЕННЫЕ СТРУИ

В предыдущих главах описано большое количество различных парадоксальных свойств течений вязкой жидкости, которые в основном связаны с автомодельной постановкой задачи. Однако было бы неправильно полагать, что парадоксы возникают лишь благодаря определенной идеализации в постановке гидродинамической или тепловой задачи, каковой, в частности, является автомодельность течения, а в общем же случае ничего необычного в поведении решений уравнений Навье — Стокса и теплопроводности не должно быть. Имеются ситуации, когда парадоксальные свойства обнаруживают именно «реальные» неавтомодельные решения, в то время как идеализированное автомодельное решение ведет себя вполне «пристойным» образом.

Одним из таких примеров являются неавтомодельные затопленные струи. Источником кажущегося противоречия в этом случае является груз традиционных представлений, сложившихся в результате длительного развития гидродинамики (а может быть, и всей классической физики), хотя и не имеющих под собой достаточного основания. В частности, как правило, неявно предполагается, что «физическое» решение аналитично, а если оно вдруг оказывается неаналитическим, то это патология, связанная с некорректно поставленной задачей. Однако, как это будет показано ниже, именно неаналитическое решение в случае неавтомодельных струй, истекающих в пространство затопленное той же жидкостью, обладает необходимыми с физической точки зрения свойствами. Этот и ряд других, примыкающих к нему, парадоксов, среди которых неразрешимость краевой задачи и наличие скрытых инвариантов играют наиболее значимую роль, являются предметом обсуждения в данной главе.

§ 1. ТЕПЛОВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ АВТОМОДЕЛЬНОЙ ЗАТОПЛЕННОЙ СТРУИ

Прежде чем перейти к собственно гидродинамической задаче, рассмотрим сначала более простую задачу о теплообмене в автомодельной струе, бьющей из точечного источника, на примере которой можно отчетливо продемонстрировать необходимость введения

неаналитических решений. Эта задача обладает и рядом других парадоксальных свойств, имеющих нетривиальное физическое содержание [47].

1.1. Постановка задачи

Рассмотрим осесимметричную краевую задачу для стационарного уравнения теплопроводности вне некоторой сферы радиуса с учетом влияния конвективного теплонереноса и объемного источника тепла, порожденного вязкой диссипацией кинетической энергии жидкости, если поле скорости соответствует автомодельной затопленной струе Ландау

Ось направлена вдоль оси струи. Функция

есть решение Ландау [86], где постоянная монотонно связана с импульсом струи

причем при при Поле скорости (1), (2) является точным решением уравнений Навье — Стокса.

На сфере радиуса задается произвольное осесимметричиое поле температур на бесконечности температура принимается равной нулю. Возможны и другие постановки граничных условий на сфере в частности, можно задать граничные условия второго или третьего рода. Уравнение теплопроводности с учетом диссипации энергии в осесимметричном случае имеет вид

где температуропроводность; — удельная теплоемкость. Следуя традиции, предположим, что решение уравнения (4) является аналитическим в окрестности бесконечно удаленной точки, т. е. его

можно представить в виде разложения по целым степеням

После подстановки (1), (2), (5) в (4) с учетом того, что диссипативная функция имеет порядок приходим к системе уравнений

Для случая имеем неоднородное уравнение

Здесь нормированная диссипативная функция; число Прандтля.

Поскольку ось струи при принадлежит области течения, то от решений уравнений (6), (7) следует требовать ограниченности в точках в которых поле скоростей (1) согласно (2) аналитично. Линейные уравнения (6), (7) принадлежат классу Фукса [121], а поскольку в точках определяющие уравнения имеют двукратные нулевые корни, то в окрестности каждой из особых точек одно из решений каждого уравнения аналитично, а другое имеет логарифмическую особенность.

Таким образом, решения ведут себя подобно функциям Лежандра. Следовательно, требование ограниченности оказывается эквивалентным требованию аналитичности, и для физически приемлемых решений в граничных точках должны выполняться следующие условия:

При однородная краевая задача (6), (9) имеет нетривиальное решение

которое легко можно получить, интегрируя уравнение (6) при Решение (11), получено Румером [113]. Оно соответствует точному решению уравнения теплопроводности без диссипативного тепловыделения описывающему распределение температуры от точечного источника тепла, помещенного в начало координат, из которого бьет струя. Величина определяется полным тепловым потоком

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление