Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.2. Парадокс неразрешимости

Исследуем существует ли нетривиальное решение однородной краевой задачи (6), (9) при Если такие решения найдутся, то разрешимость неоднородной краевой задачи (7), (10) ставится под сомнение. Действительно, в этом случае по известной альтернативе Фредгольма правая часть (7) должна быть ортогональной решению краевой задачи, сопряженной задаче (6), (9) при Следует заметить, что задача о нахождении нетривиального решения для однородной краевой задачи эквивалентна задаче на собственные значения, в которой число Прандтля будет собственным, если величину считать данной. Вообще говоря, спектр в рассматриваемом случае не обязательно должен быть сплошным, как это имеет место при и можно ожидать нетривиального решения задачи (6), (9) лишь при некоторых значениях К сожалению, получить аналитические результаты для общего случая трудно. Поэтому рассмотрим сначала случай струи с бесконечно большой интенсивностью, устремив Из (2) имеем

откуда

причем коэффициент при дельта-функции находится из условия

В этом случае в области уравнение (6) можно представить в виде

Нетрудно найти регулярное решение (14) в виде полинома от х степени к при следующих значениях числа

В точке уравнение (14) не справедливо, а величина может испытывать скачок.

Уравнение (6) можно представить как действие несамосопряженного оператора

на функцию По общим правилам найдем, что сопряженным к уравнению (6), Мпхп будет уравнение

при естественном условии ограниченности Уравнение (16) нетривиально разрешимо, если

а величины даются выражениями (12), (13). Собственные значения (17) отвечают собственным функциям в виде полиномов степени k. В случае имеется также непрерывный спектр которому соответствует собственная функция

Таким образом, только в случае имеет место нетривиальная разрешимость уравнения (14) одновременно с сопряженным к нему уравнением (16), причем соответствующее собственное значение Заметим, что при собственная функция (18) сопряженного уравнения (16) является знакоопределенной. Для того чтобы применить известную теорему Фредгольма, достаточно рассмотреть интеграл

и выяснить, равен ли он нулю (условие ортогональности правой части (7) нетривиальному решению сопряженного уравнения).

Нормированная диссипативная функция положительно определена. Отсюда в силу знакоопределенности имеем и неоднородная краевая задача (7), (10) неразрешима при Вместо параметра А удобно ввести число Рейнольдса, определенное по полному импульсу

так что при При произвольных значениях существует кривая на которой решения неоднородной задачи не существует. Эта кривая была рассчитана следующим образом.

Для однородного уравнения (6) при ставились две задачи Коши

Решение находилось методом Рунге — Кутта — Мерсона с относительной погрешностью на шаге Интегрирование проводилось до некоторой точки сшивки лежащей в области наибольших по абсолютной величине производных. Решение аналитическое в окрестности точки при вообще говоря, становится неограниченным. Однако если существует такой набор параметров при котором является аналитическим и при то с точностью до постоянных множителей функции совпадут всюду на интервале Чтобы это произошло для линейного однородного уравнения второго порядка (6), достаточно совпадения функций и первых производных в произвольной точке Эти условия в терминах функций имеют вид линейной системы уравнений

которая имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю:

Разрешая уравнение (22), найдем значения при которых однородная краевая задача (6), (9) при имеет нетривиальное решение. В этом случае вопрос о разрешимости неоднородной задачи (7), (10) рассматривается следующим образом. Условия непрерывности функций и их производных в точке

Рис. 100.

имеют вид линейной неоднородной системы уравнений

где есть частные решения неоднородного уравнения (7), удовлетворяющие условиям аналитичности в точках соответственно:

В силу сделапного выбора определитель неоднородной системы Поэтому задача разрешима только в случае обращения в нуль определителя

Численные расчеты показали, что на кривой рис. 100, определяемой уравнением определитель Таким образом, неоднородная задача (7), (10) для чисел принадлежащих этой кривой, неразрешима. Отметим, что при согласно рис. что находится в полном соответствии с приведенным асимптотическим анализом.

Неразрешимость краевой задачи (7), (10) в рамках принятых предположений означает неразрешимость полного уравнения конвективной теплопроводности (4) с полем скорости (1), (2), являющимся точным решением уравнений Навье — Стокса. Отсюда можно было бы сделать выводы о том, что уравнение энергии и уравнения гидродинамики несовместимы! Однако такой вывод является преждевременным, поскольку наши рассуждения существенно опирались на представление поля температуры в виде разложения по целым обратным степеням (5). В этой связи естественным является предположение о том, что парадокс неразрешимости связан с выбором разложения в виде (5), которое следует из условия аналитичности решений при тогда как для физически приемлемых решений достаточно их регулярности [46].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление