Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.3. Общее решение однородного уравнения теплопроводности

Обратимся к уравнениям (6), в которых случай не исключен. Устремив или из (6) приходим к классическим уравнениям Лежандра, имеющим нетривиальные регулярные решения только при целочисленных значениях отвечающих собственным значениям малых, но

конечных числах или оператор Лежандра получает малое возмущение, соответствующее конвективному переносу тепла. Согласно теории возмущений спектр оператора претерпевает изменение, пропорциональное этому возмущению. Поэтому собственные значения возмущенного оператора будут зависеть от Отсюда следует, что разложение по целым обратным степеням при ненулевых значениях не будет иметь места. Разлояение поля температуры следует вести по дробным показателям степени определяемым как собственные параметры однородной задачи. По аналогии с уравнением Лапласа такое разложение решения уравнения конвективной теплопроводности по собственным функциям задачи можно назвать мультипольным разложением.

Итак, решение уравнения теплопроводности следует искать в виде [46]

Разложение (23) справедливо для однородного уравнения теплопроводности (4). Решение неоднородного уравнения (4) помимо (23) содержит член, вид которого определяется диссипативным источником тепла. Этот источник, пропорциональный порождает в разложении, за некоторым исключением, о котором пойдет речь ниже, дополнительный член вида отвечающий частному решению неоднородного уравнения (4). При отсутствии конвективных членов в однородном уравнении теплопроводности разложение (23) становится классическим с и сферическими функциями Подставляя разложение (23) в уравнение теплопроводности (4) с учетом выражения для скорости (1), в случае получим

Частное решение неоднородного уравнения (4) удовлетворяет уравнению (7), которое запишем в следующем виде;

Линейные уравнения (24) также принадлежат классу Фукса и соответственно их решения в окрестности особых точек ведут себя аналогично функциям Лежапдра, т. е. одно из решений каждого уравнения апалитично, а другое имеет логарифмическую особенность. Поскольку с физической точки зрения решения должны быть регулярными, а требование регулярности в данном случае совпадает с условием аналитичности решения в особых точках, то для уравнений (24), (25) необходимо потребовать выполнения

следующих краевых условий:

Заметим, что условие ограниченности производных влечет за собой равенства соответствующие осевой симметрии температурного поля. Краевую задачу (24), (26) можно определить как задачу на собственные значения которые, однако, входят в задачу нелинейным образом.

К сожалению, математическая теория таких спектральных задач развита слабо. Известна, например, теория несамосопряженных, операторов Лежандра [131], в которой доказывается, что спектры этих операторов состоят из изолированных собственных значений конечной алгебраической кратности, не имеющих конечных предельных точек. Линейная оболочка множества собственных и присоединенных функций обобщенного оператора Лежандра плотна в [131]. Если в уравнении (24) в последнем члене положить и считать этот множитель собственным значением, а все остальные в (24), (26) — данными, то такое уравнение можно записать в виде где — несамосопряженный обобщенный оператор Лежандра. Тогда все указанные свойства переносятся на полученное уравнение.

При таком подходе для рассматриваемого уравнения собственное значение не обязано равняться Однако оператор является обобщенным несамосопряженным оператором Лежандра при произвольных конечных в частности для таких которые удовлетворяют уравнению Поэтому можно надеяться (доказать это утверждение строго пока не представляется возмояшым), что свойство полноты собственных функций для задачи (24), (26) также будет иметь место. Это заведомо так для частных случаев поскольку тогда задача превращается в задачу на собственные значения для обыкновенного оператора Лежандра. Следует отметить, что первое собственное значение при всех значениях чисел что диктуется законом сохранения теплового потока. Соответствующая собственная функция (11) отвечает решению задачи с заданным ненулевым потоком тепла на бесконечности.

Покажем, что собственные значения краевой задачи (24), (26) действительны, если Для этого представим собственную функцию в виде Тогда уравнение (24) принимает вид

Умножим (28) на а комплексно-сопряженное уравнение (28) на и проинтегрируем их от —1 до 1. Вычитая полученные

интегральные соотношения, получим

Поскольку функции аналитичны в точках , то, применяя к правой части полученного равенства теорему о среднем, приходим к соотношению

где некоторая внутренняя точка интервала Физическое требование ограниченности теплового потока на бесконечности исключает возможность появления собственных значений с С другой стороны, из выражения (2) для можно получить, что

Отсюда следует, что при выражение в квадратных скобках (29) в нуль не обращается при любых Поскольку то при из (29) следует т. е. собственные значения действительны. Условие теоремы можно ослабить. В частности, если выполнено неравенство

то .

В общем случае функции можно определить численно. Алгоритм, который позволяет рассчитать собственные значения при любых заданных числах подобен изложенному алгоритму определения кривой неразрешимости для неоднородной задачи (7), (10). Ставятся две задачи Коши для с краевыми условиями вида (21). В некоторой точке сшивки величина подбирается так, чтобы определитель А вида (22), составленный из функций обращался в нуль. В силу этого условия собственная функция, соответствующая полученному значению будет аналитической во всей области изменения переменной Некоторые найденные таким способом зависимости представлены на рис. 101, где для даны зависимости от числа При построены зависимости от при различных значениях числа

Отметим, что кривые для лежат по разные стороны от горизонтали Для кривые

Рис. 101.

пересекают эту горизонталь, как это показано штрихпунктиром для случая Это обстоятельство в дальнейшем играет важную роль.

Итак, однородная задача (24), (26) имеет счетное множество решений, обладающее, по-видимому, полнотой в классе Полагая, что система является полной системой линейно независимых собственных функций, приходим к выводу о том, что решение однородного уравнения конвективной теплопроводности (4) существует и единственно для краевой задачи вне шара радиуса если на его поверхности задана температура как функция сферического угла На бесконечности температура предполагается постоянной и равной нулю. Очевидно, что можно получить решение и в том случае, если на поверхности задать тепловые граничные условия второго или третьего рода, поскольку неизвестные произвольные коэффициенты содержащиеся в и здесь однозначно определяются. Каждый коэффициент взаимно однозначно связан с интенсивностью -польного теплового источника.

Для тепловой задачи в шаровом слое ряд (23) необходимо дополнить членами с положительными степенями В этом случае разложение поля температуры по собственным функциям задачи имеет вид

На основе соотношения (29) и неравенства (30) нетрудно показать, что для собственных значений имеет

место аналогичное (31) утверждение, что собственные значения действительны, если выполняется следующее неравенство:

Из (31), (33) следует, что (32) представляет собой разложение по действительным показателям степени по крайней мере, в области не очень больших значений Заметим, что при или система функций, отвечающая положительным показателям степени при также совпадает, как и при с полной липейно независимой системой полиномов Лежандра. Можно полагать, как и в случае с что свойства полноты и линейной независимости функций сохраняются и при Это дает основание утверждать, что решение тепловой задачи в шаровом слое также существует и единственно и представимо в виде разложения (32). Видимо, существование и единственность решения краевой задачи для однородного уравнения конвективной теплопроводности будут иметь место, как в случае уравнения Лапласа, и для областей более общего вида.

Несколько иначе обстоит дело для неоднородной задачи (25), (27), в которой учитывается диссипативное тепловыделение. Как уже было показано, эта задача, совпадающая с (7), (10) с точностью до несущественных переобозначений, неразрешима при Следует отметить, что неразрешимость задачи (25), (27) может и не означать неразрешимости исходной краевой стационарной задачи конвективной теплопроводности с вязким нагревом (4). На кривой неразрешимости показатель степени дипольного числа в В этом случае решение неоднородного уравнения, пропорциональное вступает во «взаимодействие» с решением однородного уравнения, так что зависимость от для однородного уравнения может измениться, а задача (25), (27) на кривой где потеряет смысл. Поясним сказанное на более простом примере.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление