Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.4. Тепловая задача для плоского гидродинамического стока

Эта задача, как и тепловая задача для автомодельной затопленной струи, является одним из немногих примеров точного решения полной системы уравнений конвективного тепломассопереноса.

Рассмотрим плоскую стационарную задачу конвективной теплопроводности с полем скорости отвечающим точечному источнику жидкости обильности которое одновременно является точным решением уравнений Навье — Стокса для несжимаемой жидкости. Решение этой задачи, как для однородного, так и

для неоднородного уравнения теплопроводности так же, как и в случае струи Ландау, имеет степенной характер.

Уравнение теплопроводности с учетом диссипативного тепловыделения принимает вид

где число Пекле, интенсивность вязкого тепловыделения. Заметим, что в наших обозначениях соответствует гидродинамическому стоку, а источнику.

Общее решение (34) легко найти методом разделения переменных

произвольные постоянные, определяемые из граничных условий. Поскольку гидродинамическая задача не имеет характерного размера, то было бы естественно поставить тепловую задачу в той же области, что и гидродинамическую, т. е. во всем пространстве с выколотой в начале координат точкой, в которой находится гидродинамический источник. Аксиально-симметричное решение из (35) принимает вид

Здесь характеризуют тепловую особенность в начале координат. Нетрудно видеть, что при решение какими бы ни были постоянные Это решение не имеет физического смысла, так как положительный источник тепла не может явиться причиной понижения температуры, это противоречило бы основным термодинамическим законам, а именно принципу температуры [114], согласно которому, если в систему поступает тепло, то температура должна повышаться.

При решению легко придать физический смысл. В этом случае при температура определяется знаком т. е. типом теплового источника в начале координат, вклад же диссипации кинетической энергии, как и следовало ожидать, приводит к повышению температуры. Это говорит о том, что при тепловой режим течения качественно отличается от режима при При показатель степени при решения однородной задачи сравнивается, как и в ситуации неразрешимости тепловой задачи для

струи Ландау, с показателем степени частного решения неоднородной задачи. В этом случае решение имеет вид

т. е. в особой ситуации кроме степенной зависимости решения от возникает секулярный логарифмический член.

Заметим, что если тепловую задачу ставить вне круга радиуса то стационарному решению уравнения теплопроводности легко придать физический смысл при любых В частности, если на границе круга задана температура то

Решение (38) можно получить предельным переходом в (39). Таким образом, парадокс отсутствия физически приемлемого стационарного решения при возникает лишь в условиях некорректно поставленной краевой задачи, когда вместо традиционных граничных условий для уравнения теплопроводности приходится ставить нестандартные краевые условия, соответствующие виду тепловой особенности в начале координат. В дальнейшем рассматривается задача в области для которой постановка граничных условий носит регулярный характер. Однако и в этом случае значение остается выделенным по физическому содержанию теплового режима течения.

Пусть ; тогда тепловая задача становится задачей конвективного переноса тепла без тепловой диффузии. Для такой задачи граничные условия можно ставить только на границе втекания жидкости. В нашем случае это условие При больших, но конечных числах устанавливается тепловой режим с доминирующим конвективным переносом тепла, граничное условие при становится необходимым, хотя влияние его на участке втекания пренебрежимо мало по сравнению с влиянием нагрева жидкости от вязкой диссипации: член вида в (39) приводит к появлению теплового пограничного слоя вблизи о чем, в частности, говорит неаналитичность этого члена при При влияние граничного условия на окружности становится определяющим при т. е. влияние краевых условий на одной границе оказывается существенным вблизи другой границы, независимо от того, являются ли они участками втекания или вытекания, а это характерно для кондуктивного переноса тепла.

Таким образом, при имеет место режим преобладающего конвективного переноса тепла, при кондуктивный режим. Если (случай гидродинамического источника), то стационарное решение согласно (39) не ограничено на бесконечности. Это также область конвективного переноса тепла, но физически

приемлемое решение должно быть уже существенно нестационарным. Методом преобразования Лапласа можно полностью решить такую нестационарную задачу [149] и показать, что стационарное решение (39) является предельным при конечных а область с нагретой жидкостью при больших временах увеличивается пропорционально Для произвольной неаксиально-симметричной задачи изложенные рассуждения о режимах теплообмена сохраняют свою силу, поскольку для внешности круга в случае стока в следовательно, несимметричные моды не дают заметного вклада при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление