Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

1.5. Разрешение парадокса

Возвращаясь к тепловой задаче для струи Ландау с вязким нагревом, в соответствии с результатами, полученными в тепловой задаче для плоского гидродинамического стока, на кривой частное решение неоднородного уравнения теплопроводности (4) следует искать в виде

Вид секулярного логарифмического члена диктуется степенной зависимостью от решения однородного уравнения теплопроводности и объемного теплового источника. Подставляя (40) в уравнение (4) с учетом выражения для поля скорости (1), получим

Граничные условия к этим уравнениям представляют собой условия аналитичности функций в точках и имеют вид

Постоянная С выбирается из условия разрешимости неоднородного уравнения (41). Это условие по альтернативе Фредгольма есть условие ортогональности правой части (41) к решению сопряженного однородного уравнения, поскольку решение однородного уравнения (41), которое совпадает с (42), нетривиально:

При численных расчетах величину С удобнее определять из эквивалентного условия разрешимости неоднородной задачи, а именно из условия разрешимости системы липейных уравнений, полученной как следствие непрерывности решения вместе с его первой производной в точке сшивки Учитывая, что есть решение

Рис. 102.

однородного уравнения (41), это условие имеет вид

где есть аналитические решения соответствующих задач Коши, удовлетворяющие условиям: Постоянная С не зависит от точки сшивки, поскольку она однозначно определяется из указанного условия ортогональности. Характерные профили решений краевой задачи представлены на рис. 102, где положено Кривые 1 соответствуют

Таким образом, математически задача разрешима при всех Заметим, что общее решение где То есть решение (23) однородного уравнения теплопроводности, а частное решение (40) неоднородной тепловой задачи, является полным, поскольку собственные значения не вырождены. Если бы какие-либо собственные значения имели кратность то в (23) необходимо было бы добавить члены, являющиеся полипомами степени от умноженными на

Несмотря на то, что теперь тепловая задача поставлена корректно, наличие кривой «неразрешимости» приводит к определенным нетривиальным физическим следствиям. Предварительно укажем, что решение (40) неоднородной тепловой задачи с вязким тепловыделением всегда знакопеременпо, что непосредственно видно на рис. 102. Этот факт с физической точки зрения представляется удивительным: нагревание жидкости за счет диссипации ее кинетической энергии приводит к возникновению отрицательных температур в некоторой области течения. Рассмотрим в связи с этим предельные случаи

Можно показать, что при неоднородная краевая задача (25), (27) неразрешима при всех числах Репнольдса, так как в этом предельном случае однородное уравнение есть классическое самосопряженное уравнение Лежандра, имеющее регулярное решение, а условие ортогональности не выполнено. Действительно, решение

сопряженного однородного уравнения имеет вид при всех числах в чем можно убедиться непосредственно подстановкой из (7) и явным вычислением интеграла. Таким образом, кривая неразрешимости имеет две ветви. Первая представлена на рис. 100, вторая — это Поэтому в рассматриваемом предельном случае решение неоднородной тепловой задачи должно иметь вид (40). Нетривиальное регулярное решение самосопряженной при краевой задачи (42), (44) есть Отсюда условие разрешимости неоднородной краевой задачи (41), (43) имеет вид

Для достаточно больших радиусов логарифмический член со знакопеременной в (40) становится главным, поэтому всегда существует область течения с отрицательными температурами.

В случае решение краевой задачи (25), (27) существует и единственно. Для того чтобы показать наличие областей, в которых решение достаточно рассмотреть окрестность точки Положим тогда из (25) получим

Решение этого уравнения с точностью до членов второго порядка малости имеет вид и Отсюда при имеем следовательно, по непрерывности вблизи этой точки существует область значений х, где

В случае произвольных решение уравнения (25) можно найти численно. Характерные профили вблизи кривой «неразрешимости» приведены на рис. 103. Параметром служит при фиксированном Кривая 1 соответствует Следует отметить характерное поведение

Рис. 103.

профиля температуры при переходе через кривую «неразрешимости» уравнения (25). Если увеличивать со стороны малых то решение растет по абсолютной величине, оставаясь положительным и почти постоянным в большей части области изменения х и отрицательным в небольшой окрестности точки

При переходе через число лежащее на кривой «неразрешимости», профиль температуры меняет знак через регуляризированную бесконечность, сохраняя свое качественное поведение. Такую трансформацию поля температуры можно интерпретировать как переворот теплового диполя. Зависимость объемного источника тепла от такова что ближайшим по показателю степени членом общего разложения температуры (23) к частному решению неоднородной задачи является дипольный член с показателем степени При объемный источник тепла вступает в резонанс с тепловым диполем, При близких к решение неоднородного уравнения имеет характер распределения температуры для теплового диполя, так что наличие области отрицательных температур можно качественно объяснить, полагая, что источник тепла индуцирует этот диполь при вследствие указанного резонанса.

Отметим, что для постановки задачи вне шара радиуса аналогично тому, как это было в тепловой задаче для гидродинамического стока, не возникает проблемы отрицательных температур, поскольку в этом случае имеется ненулевой поток тепла на бесконечности, описывающийся первым членом разложения с в (23). Надо сказать, что и в этом случае при происходит качественная перестройка теплового режима течения. Действительно, если на границе задать абсолютную температуру То, то для выполнения граничного условия при необходимо иметь достаточно большой положительный первый член с чтобы компенсировать влияние значительной области отрицательных температур у решения неоднородного уравнения. Этому будет соответствовать достаточно большой тепловой поток на бесконечности.

При необходимости в такой компенсации практически нет, поэтому следует ожидать резкого увеличения полного теплового потока на бесконечности при переходе со стороны малых Таким образом, область можно охарактеризовать как область преимущественно конвективного, а кондуктивного переноса тепла. С другой стороны, в случае нулевого теплового потока, при главным членом при является частное решение неоднородного уравнения т. е. поведение температуры на бесконечности определяется объемным диссииативным нагревом, а не краевыми условиями на сфере Если же то главным при становится дипольный член, и влияние граничного условия простирается на бесконечность, что характерно для кондуктивной теплопроводности.

Это также подтверждает сделанный вывод о том, что кривая «неразрешимости» есть кривая, отделяющая области с конвективным и кондуктивным режимами теплообмена. Отметим, что возможность выделения двух режимов теплопроводности критическим образом зависит от вида распределенного в объеме теплового источника, роль которого в данном случае играет вязкая диссипация кинетической энергии жидкости.

Резюмируя, можно сказать, что аналитичность решения в бесконечно удаленной точке, имеющая место для решения уравнения Лапласа, является следствием наличия целочисленного спектра у оператора Лежандра. Введение возмущающего оператора (для уравнения теплопроводности это был член изменяет этот спектр, и собственные значения становятся дробными (а может быть и комплексными) величинами. Классическое мультипольное разложение решения уравнения Лапласа с введением возмущения изменяется, но физический смысл его, по существу, остается прежним. Одним из более сложных примеров применения развитых представлений является задача о неавтомодельной затопленной струе. В этом случае «возмущение» есть нелинейный дифференциальный оператор но тем не менее получается картина качественно сходная с описанной. Задача о неавтомодельной затопленной струе кроме указанных обладает рядом других нетривиальных парадоксальных свойств. Ей посвящена оставшаяся часть главы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление