Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.4. Некоторые парадоксы симметрии

Спонтанпое нарушение симметрии — одна из фундаментальных идей современной физики. В гидродинамике классическими примерами потери симметрии в первоначально симметричном потоке могут служить вихревая дорожка Кармана, течение в плоском диффузоре или возникновение вихрей Тейлора между двумя вращающимися цилиндрами. Описание этих явлений можно найти в обычном курсе гидродинамики.

В основе обычных рассуждений о симметрии, как правило, лежит лейбпицевский принцип достаточного основания [12], согласно которому «симметрия причин всегда влечет за собой симметрию действий». Как указывает Биркгоф, «более глубокий подход приводит к заключению, что, хотя симметричные причины должны вызывать симметричные действия, почти симметричные

причины не неооходимо вызывают почти симметричные действия». Данное заключение, как и принцип Лейбница, страдает неопределенностью понятия «симметричные причины».

Рассмотрим простой, но весьма поучительный пример. Пусть идеальная жидкость, заполняющая плоскую область внутри эллипса, совершает циркуляционное стационарное движение, симметричное относительно осей эллипса. Это течение характеризуется ненулевым моментом количества движения. В начальный момент времени в жидкости «включается» вязкость, но на непроницаемой границе области сохраняется условие скольжения, заключающееся в требовании отсутствия касательных напряжений. Естественно предположить, что начальная симметрия течения сохраняется во все моменты времени. Но тогда немедленно возникает противоречие, поскольку, с одной стороны, полный момент сил на границе будет равен нулю — момент сил трения по определению, а момент нормальных сил вследствие симметрии. В этой ситуации момент должен сохраняться, имея начальное значение. С другой стороны, вязкая жидкость внутри эллипса совершает деформационное движение, что должно сопровождаться непрерывной диссипацией энергии и затуханием движения вплоть до полной остановки. Куда же в таком случае девается момент?

Выявленное противоречие связано с предположением о сохранении начальной симметрии течения, которая в действительности сразу же нарушается. В самом деле, согласно соотношениям (1.5) и (1.6) для плоского движения вязкой жидкости имеет место уравнение

Симметрия функции относительно осей эллипса предполагает выполнение равенств

Однако условия (26) не могут выполняться на решениях уравнения (25). Поскольку операция дифференцирования изменяет тип симметрии, превращая симметричную функцию в антисимметричную, нелинейные члены в (25), например при фиксированном антисимметричны по у, тогда как остальные члены уравнения симметричны. Симметрия типа (26) допустима лишь в следующих двух случаях: а) для ползущего движения, когда нелинейные члены отсутствуют; б) для стационарного движения идеальной жидкости, когда В общем случае уравнение (25) допускает симметрию решений другого типа с антисимметричной функцией например, — Но такое решение описывает многоячеистый режим, для которого момент количества движения всегда равен пулю и противоречие отсутствует.

Приведенный пример показывает, что в понятие «симметричные причины» должна входить допустимость решений задачи с симметрией данного типа. Тем самым понятие «симметричных причин» является далеко не тривиальным. Симметрия может оказаться весьма скрытой и проявляться в обобщенном групповом смысле. Содержательные применения теории групп в гидрогазодинамике составляют предмет целой отрасли науки [104].

Пусть условие симметрии причин выполнено, т. е. симметричное решение допускается уравнениями. Тогда несимметричные решения гидродинамических уравнений при симметричных условиях могут возникать только после потери устойчивости основного режима вследствие бифуркации. Как правило, эстафета устойчивости передается именно несимметричному режиму, который в этом случае и реализуется в природе или опыте. При мягком характере потери устойчивости иногда может быть прослежен целый каскад бифуркаций, сопровождающийся последовательным уменьшением симметрии, как это наблюдается, например, в течении Куэтта — Тейлора. Угадать заранее без анализа устойчивости форму вторичного режима практически невозможно. Наиболее неожиданные и интересные физические эффекты проявляются, когда спектр линейной задачи устойчивости является кратным.

Из большого многообразия типов потери пространственной симметрии прежде всего остановимся на возникновении самовращения. Этот вопрос представляет не только принципиальный, но и, возможно, практический интерес в связи с повседневным возникновением вращательных движений в природе. Однако в природе и технике «граничные условия» никогда не бывают вполне осесимметричными, и действительной «закручивающей» причиной может служить неосесимметричная затравка, примером чему служит всем известный вихрь в ванне.

До последнего времени не было построено ни одного примера возникновения самовращения из исходного осесимметричпого течения. Отметим, что в рамках классической постановки речь не может идти о непосредственном переходе к самовращению в результате развития осесимметричной неустойчивости, так как такой процесс невозможен. Действительно, из системы (1.8) можно получить следующее уравнение для циркуляции при осесимметричном движении:

Поскольку это квазилинейное уравнение содержит только производные от для него справедлив двухсторонний принцип максимума [80]: максимум и минимум достигаются на границе пространственно-временной области Значит, если на границе то со временем возможно лишь затухание Таким образом, далее речь пойдет о довольно топком механизме возникновения

самовращения: сначала течение теряет устойчивость но отношению к неосесимметричным возмущениям, а затем развивается вторичный режим, имеющий ненулевое среднее вращение. Ситуация здесь аналогична проблеме генерирования магнитного поля в так называемом МГД-динамо.

Теоретический анализ линейной устойчивости круглых струй показал, что наиболее опасными возмущениями являются спиральные волны, бегущие по потоку и имеющие азимутальное волновое число Когда линейный анализ выделяет одно наиболее растущее возмущение, то последующий учет нелинейности позволяет определить стационарную амплитуду этой моды и ее зависимость от надкритичности. Именно такую информацию обычно получают в первую очередь, используя метод Ляпунова — Шмидта. Однако если в линехшом приближении существуют два равноправных возмущения с и, более того, их суперпозиция с произвольными коэффициентами является решением, то на нелинейном этапе эволюции выявляется, какие комбинации этих мод формируют вторичные режимы, которых может быть несколько, и характер устойчивости каждого из них.

Как показано в [42], устойчивый вторичный режим параллельного течения, моделирующего начальный участок струи, включает в себя дифференциальное стационарное вращение с ненулевым моментом импульса. Представляет интерес вопрос, откуда берется этот ненулевой момент импульса? Чтобы на него ответить, необходимо рассмотреть переход от исходного режима к новому. В процессе роста спиральных возмущений из-за действия рейнольдсовых напряжений появляются вращения противоположных знаков, разделенные пространственно. При этом в каждый момент времени суммарный момент импульса возмущенного движения равен нулю. Но за бесконечное время часть завихренности определенного знака уносится на бесконечность, тогда в струе остается компенсирующий момент импульса.

Близкий к описанному процесс происходит при обтекании крылового профиля, когда согласно механизму Жуковского — Чаплыгина на бесконечность уносится начальный вихрь, а вокруг крыла остается компенсирующая циркуляция. Отметим, что эффект не связан принципиально с бесконечностью области течения. При наличии достаточно удаленной стенки она будет поглощать момент и притом в течение всего переходного процесса. Математически ситуация моделируется следующим примером. Пусть рассматривается задача нестационарной теплопроводности в полупространстве 0:

Для разрешимости стационарной задачи необходимо, чтобы

что выполняется, например, для функции В силу условий имеем так что существует интеграл сохранения — полная энтальпия Величина следовательно, определяется начальным распределением температуры. С другой стороны, существует стационарное решение интеграл от которого определяется только видом и не обязан быть равным так чтог хотя во все моменты времени полная энтальпия сохраняет свое начальное значение, через бесконечное время она оказывается другой.

Качественная перестройка из-за неустойчивости может происходить и в других течениях, для которых имеет место вырождение собственного спектра. Так, кратность собственного значения приводит к множественности вторичных режимов и в течении Куэтта между вращающимися цилиндрами. Судя по результатам работы [6], при определенных зазорах и скоростях вращения цилиндров устойчивыми оказываются тоже спиральные автоколебания. Там они должны приводить к появлению спонтанного осевого потока с ненулевым расходом.

В реальных условиях глухие торцы будут препятствовать этому эффекту, однако если торцы свободны или цилиндры «закольцованы» в виде торов, препятствия осевому движению нет. В случае струи причин, запрещающих возникновение вращения, также нет. Заметим, что теория предсказывает самовращение только для струи с достаточно резкими границами. Для автомодельной струи Шлихтинга устойчив вторичный режим без вращения. Поэтому при экспериментальной реализации явления придется позаботиться об увеличении дальнобойности струи и консервативности ее профиля.

Спонтанную потерю симметрии другого рода, но тоже связанную с потерей устойчивости, демонстрирует течение в плоском канале. В работе [43] для вычисления числа Рейнольдса перехода в плоском канале рассмотрен конечно-амплитудный симметричный триплет, ветвящийся от двумерных автоколебаний, резонирующих со своей субгармоникой, т. е. с трехмерными возмущениями половинной частоты.

Поясним сказанное. С увеличением числа Рейнольдса среди возмущений малой амплитуды выделяется наиболее растущая плоская волна Толмина — Шлихтинга, которая уже при очень небольших, но конечных амплитудах в свою очередь теряет

устойчивость по отношению к трехмерным волновым возмущениям половинной частоты, имеющим определенный период в трансверсальном направлении. Эти волны движутся как целое вниз по течению с определенной фазовой скоростью. Рассмотрение триплетного волнового образования оправдано тем, что оно существует при гораздо меньших числах Рейнольдса, чем двумерные автоколебания, и тем более меньших, чем критическое число линейной потери устойчивости (пеобходимо учесть, что в канале имеет место жесткое возбуждение). Иными словами, автоколебания, взаимодействующие с трехмерной субгармоникой, оказываются более «живучими», чем в двумерном случае.

Существует единственный «собственный» триплет бесконечной малой амплитуды, который состоит из трех нейтральных, но взаимодействующих гармоник. Ему отвечают вполне определенное число Рейнольдса и волновые параметры («тройная точка») [44]. Отметим, что волны, образующие этот триплет, как функции у, антисимметричны относительно оси канала. Автоколебания основного периода в общем случае устроены так, что амплитуды составляющих их гармоник либо симметричны, либо антисимметричны, и поэтому симметрия среднего профиля скорости сохраняется. Автоколебания удвоенного периода, ветвящиеся от тройной точки, таким свойством не обладают. Как уже было сказано, при нулевой амплитуде все три волны, будучи нейтральными, антисимметричны по продольной скорости. Легко убедиться, что нелинейные уравнения движения такой симметрии не допускают и поэтому для конечных амплитуд решения получаются асимметричными. Такого рода асимметрия наблюдалась экспериментально [73, 216]. Эти факты говорят о том, что асимметрия является типичным свойством вторичной неустойчивости.

Кроме изложенных, в гл. 2 приведены новые примеры спонтанной потери симметрии течения как посредством бифуркации самовращения, так и иным образом.

Рассмотренный симметричный триплет представляет стационарное движение в системе координат, движущейся с общей фазовой скоростью трех волн. Тем самым он демонстрирует явление потери пространственной симметрии при сохранении временной. Ясно, что это частный случай. Более общей является потеря не только пространственной, но и временной симметрии, что типично при возникновении и развитии турбулентности.

Таким образом, в гидродинамике применение правдоподобных аргументов, часто плодотворных при физических рассуждениях, может привести к неверным заключениям. В числе этих аргументов, например, такие утверждения: «незначительные причины вызывают незначительные следствия», «симметричные причины вызывают симметричные же следствия» или «природа стремится к симметрии».

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление