Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.1. Парадокс неразрешимости для затопленной струи с ненулевым расходом

Рассматривается осесимметричное стационарное течение несжимаемой вязкой жидкости, покоящейся на бесконечности, вызванное заданным полем скоростей на сфере радиуса с центром в начале сферической системы координат Движение описывается уравнениями Навье — Стокса:

Покажем, что поставленная задача не допускает решения в виде разложения по целым степеням [47]. Сначала рассмотрим случай незакрученной струи, когда Введя функцию тока согласно соотношениям

и независимую переменную будем искать решение в предположении аналитичности поля скорости [112] в бесконечно удаленной точке в виде разложений

Подставив (3) в систему (1) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях получим рекуррентную систему уравнений, первое из которых для автономное, но нелинейное, а остальные линейны. Функция совпадает с решением Ландау (1.2),

Для функции получается уравнение

Постоянная связана с расходом жидкости через сферическую

поверхность любого радиуса

соотношением

Краевые условия для (5) заключаются в требовании регулярности при В [112] найдено нетривиальное решение однородного уравнения (5)

которое, однако, соответствует нулевому расходу: Для существования решения с ненулевым расходом необходимо, чтобы постоянная была ортогональна собственной функции оператора, сопряженного оператору в (5). Умножение уравнения (5) на приводит к самосопряженному уравнению

условие разрешимости которого состоит в ортогональности (7) и правой части (8):

Последнее равенство не выполняется при произвольных значит, уравнение (5), вообще говоря, неразрешимо в классе регулярных (Можно показать, что равенство (9) выполняется при или так что в этом случае разложение (4) допустимо.)

Решение уравнения (5), приведенное в [112],

не является регулярным, так как интеграл по логарифмически расходится в точке не говоря уже о том, что функция как видно из анализа формулы (7), имеет два нуля на интервале (см. разд. 2.3).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление