Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.2. Собственные решения задачи о затопленной струе

Неразрешимость уравнения (5) не означает неразрешимости исходной задачи, а говорит лишь о непригодности разложений (4). Построим более общее разложение, полагая, что старший член, как и в (4), имеет порядок что диктуется законом сохранения импульса (1.3). Тогда можно написать

Если удовлетворяет уравнениям Навье — Стокса (1), то для вектора имеет систему

Теория струй интересуется асимптотическим поведением решения при в этой области согласно (10) первый член в (11) — малая величина высшего порядка, так что удовлетворяет в первом приближении линейному уравнению, которое и рассмотрим сначала для случая без вращения, когда Тогда представляет решение Ландау.

Линеаризованная система допускает разделение переменных и частные решения вида Будем искать общее решение в виде суперпозиции частных:

Подстановка (12) в приводит к уравнениям

Регулярные решения системы (13) возможны лишь при определенных значениях связанных с собственными значениями оператора системы (13), который является обобщенным оператором Лежандра. Такие операторы обладают хорошими

спектральными свойствами [131], однако непосредственное использование известных спектральных теорем применительно к (13), как и в случае спектральной задачи для уравнения теплопроводности (см. § 1), невозможно из-за того, что параметр входит в (13) существенно нелинейным образом. Поэтому ограничимся качественными соображениями и численным анализом. Предварительно заметим, что случай играет выделенную роль, так как при всех А. Это связано с законом сохранения расхода (6), из которого непосредственно следует, что в разложении (12) для должен содержаться член Формально значение также является собственным при всех А, но оно лишнее, так как по условию (10) вектор не должен содержать членов что и нашло отражение в форме разложения (12).

При нулевом когда систему (13) можно свести к уравнению

Если разыскивать регулярное решение уравнения (14) в виде полинома степени то для получается алгебраическое уравнение четвертой степени с решениями Условие покоя на бесконечности обеспечивается, лишь когда в разложениях (12) все поэтому два последних корня должны быть отброшены, но две первые ветви собственных значений остаются. В рассматриваемом частном случае эти ветви налагаются, так что можно считать, что (14) имеет целочислепный двукратный спектр и каждому соответствуют две регулярные собственные функции

где некоторые полиномы степени

Заметим, что согласно при что и нашло отражение в представлении (15). При уравнение (14) наряду с решением допускает собственную функцию регулярную, но удовлетворяющую условиям что. согласно (6) обеспечивает ненулевой расход Отметим, что это не противоречит условию отсутствия особенности , поскольку в разложении (12) для функции не содержится, так как Общее решение (14) содержит две произвольные постоянные

В рассматриваемом случае задача (11) остается линейной не только при но и при любых Наличие двух бесконечных последовательностей позволяет удовлетворить двум произвольным граничным условиям на сфере например,

Рис. 104.

могут быть произвольно заданы из пространства непрерывных функций что возможно в силу хорошо известной полноты множества полиномов в этом пространстве. Отметим, что необычайная ситуация, связанная с наличием в задаче двух полных наборов собственных функций (15), являющихся линейно зависимыми, и обеспечивает возможность выполнения двух условий.

При увеличении от нуля ветви расщепляются, а сами становятся нецелыми для (но ). Это видно на рис. 104, где представлены результаты численного решения уравнений (13) в виде зависимостей для По сути дела расщепление множества собственных значений на две ветви не должно в принципе изменить ситуации: каждой ветви должен соответствовать полный набор собственных функций (уже не являющихся полиномами). Несмотря на физическую ясность, строгое доказательство этих свойств представляет большие трудности и до сих пор не найдено. Использованный метод расчета собственных значений идентичен методу расчета собственных значений в спектральной задаче для уравнения теплопроводности.

По аналогии с уравнением Лапласа и тепловой задачей, рассмотренной в § 1, собственные решения линеаризованной системы уравнений Навье — Стокса (11) можно назвать гидродинамическими мультиполями, а разложение решения задачи по ее собственным функциям соответственно мультипольным.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление