Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.3. Устранение парадокса неразрешимости для неавтомодельной струи с ненулевым расходом

Линеаризованное уравнение (11) при всех числах Рейнольдса имеет двукратную точку спектра, соответствующую в разложениях (12). В этом случае в соответствии с общей теорией для полноты системы базисных функций последняя должна быть пополнена присоединенными собственными функциями. Такой присоединенной собственной функцией является решение

Логарифмический член, как показано в § 4.1, возникает и в тепловой задаче. Отличие заключается в том, что здесь он должен

присутствовать не при некоторых, а при всех числах Рейнольдса. Заметим, что логарифмический член в выражении для сразу получается из уравнения неразрывности, если в разложении (3) для допустить член Подстановка (17) в (11) после интегрирования приводит к уравнениям

Оператор определен в (5), выражением (4). Регулярное решение уравнения (18), как и (5), возможно лишь при В этом случае имеем

где величина определена соотношением (7). Из (19) после интегрирования второго уравнения с учетом выражения для получается неоднородное уравнение

Как и в случае задачи (5), однородное уравнение (21) имеет нетривиальное решение (7), но теперь правая часть (21) такова, что выбором постоянных можно обеспечить разрешимость неоднородной задачи. Второе условие, связывающее состоит в задании расхода

Умножая (21) на получаем

Интегрирование (22) по х от —1 до 1 дает расход

Из условия разрешимости самосопряженного уравнения получим

Определитель системы (23), (24) отличен от нуля при всех поэтому постоянные однозначно определяются.

Таким образом, общее решение уравнения (22) имеет вид

где регулярное частное решение уравнения (22). Это решение при помощи метода вариации произвольных постоянных может быть выписано в квадратурах:

Здесь

Далее из (7) следует

Полученное выражение регулярно на замкнутом интервале Его форма обусловлена аддитивным выделением особенности, связанной с обращением вырожденного оператора

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление