Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.4. Общее решение неавтомодельной задачи

Вернемся к рассмотрению задачи при произвольных когда нужно учитывать нелинейность уравнения (11). В нелинейном случае разложения (12), пополненные присоединенными функциями (17), не представляют решения так как при подстановке (12) в (11) нелинейность порождает некомпенсированные члены с суммарными степенями при Тем самым разложение (12) не обладает свойством замкнутости.

При разложении по целым степеням линейные и нелинейные члены в (11) также будут выражаться через некоторые целые, степени, т. е. целые степени обладают групповым свойством. Для замкнутости нобходимо, чтобы таким свойством было

наделено и семейство нецелых степеней, так чтобы линейные и нелинейные члены давали степени из этого семейства. Исходя из приведенных соображений, замкнутое разложение следует записать в виде

где — неотрицательные целые числа, выбираемые так, чтобы выполнялись неравенства Функции удовлетворяют линейным неоднородным уравнениям, которые получаются из-за нелинейности (11). Если, например, (17) подставить в (11), то конвективные члены породят неоднородные линейные уравнения для функций т. е. неоднородные уравнения появляются лишь для членов достаточно высокого порядка. Правые части для линейных неоднородных уравнений, которым удовлетворяют или отвечающие показателю степени порождаются нелинейными членами, имеющими суммарный показатель степени при Эти показатели характеризуются тем, что все они удовлетворяют условию

Заметим, что (26) в качестве подпоследовательности целиком содержит разложение (12), члены которого удовлетворяют однородным уравнениям, чего не случилось бы при целых показателях Это мультипольное разложение, играющее в (26) затравочную роль, содержит двойной счетпый набор произвольных постоянных которые должны определяться граничными условиями при Каяздый мультиполь порождает целую последовательность членов разложения (26), обращающуюся в нулевую последовательность, если данный мультиполь отсутствует. В частности, дипольный член порождает в (26) последовательность целых степеней

Таким образом, решение поставленной задачи имеет вид совокупности полного набора мультинолей с порожденными ими мультипольными последовательностями, поэтому представление решения в виде ряда (26) естественно назвать обобщенным мультипольным разложением. При этом в двойную сумму, содержащуюся в (26), входит лишь одна произвольная постоянная В, определяемая уравнениями (23), (24) и пропорциональная расходу что дает основание назвать ряд последовательностью расхода, характерный признак которой — наличие логарифмических членов. Следует также отметить, что, вообще говоря, не исключены такие случаи, когда

при некоторых числах Рейиольдса какие-нибудь собственные значения совпадут, т. е. станут кратными. В таких случаях собственные функции пополняются присоединенными функциями при где I — кратность.

Полученные результаты позволяют в явном виде выписать главные члены асимптотического разложения решения при больших С точностью до членов имеем

Функции определены соотношениями (4), (20) и (25). Они содержат три произвольные постоянные: (функция в силу произвольности со и может считаться включенной в которые в соответствии с традицией классической теории струй должны быть определены через заданные интегралы сохранения.

Во всех предыдущих работах учитывались только два интеграла сохранения: импульс и расход которые, как уже указывалось, определяют постоянные Однако существует еще один точный интеграл сохранения для уравнений Навье — Стокса, который может быть задан независимо от следовательно, определяет постоянную Это поток -компоненты момента количества движения через поверхность, состоящую из полусферы радиуса и кольца на плоскости между окружностями радиусов (рис. 105),

Если бы интегрирование осуществлялось по полной сфере, то в осесимметричном случае Именно поэтому интеграл сохранения (28) оставался незамеченным в литературе. Наличие этого интеграла приводит к тому, что в разложении для скорости должен присутствовать член по такой же член требуется законом сохранения массы (расхода). Как раз в этом кроется причина то что спектральное значение оказывается двукратно вырожденным при всех числах Рейнольдса. Следствием этого вырождения является

Рис. 105.

наличие в разложениях (26), (27) логарифмических членов, и неаналитичность решения уравнений Навье — Стокса сказывается уже во втором члене асимптотического разложения. Таким образом, парадокс неразрешимости для струи с ненулевым расходом обязан своим происхождением наличию дополнительного интеграла сохранения и в соответствии с общей терминологией гл. 1 его следует называть парадоксом скрытого инварианта.

Итак, для описания струйного неавтомодельного течения при помощи главных членов асимптотического разложения (27) необходимо задать не два, а три интеграла сохранения: Данный вывод относится к решению полных уравнений Навье — Стокса. Между тем, большинство работ по теории струй выполнено в приближении пограничного слоя. Сначала рассмотрим, что происходит с точным решением в ситуации, когда следовательно, согласно Конечный результат существенно зависит от того, каким образом изменяется расход при этом предельном переходе, что в свою очередь зависит от способа увеличения

Если струя выходит из трубки радиуса с характерной скоростыо жидкости то так что и все зависит от закона изменения В частности, при т. е. при фиксированной геометрии трубки, произведение следовательно, система (23) — (24) сводится к уравнениям которые имеют решение Тогда согласно и логарифмические члены в разложении (26) пропадают. В этой ситуации разложение (3) непротиворечиво, и для асимптотического описания неавтомодельной струи с точностью до членов порядка достаточно задание лишь двух интегралов сохранения тогда как величина может быть любой. Значит, если необходимо учесть, что струя имеет определенный конечный расход, то ее следует рассматривать при конечных, хотя, может быть, очень больших числах Рейнольдса. Этот факт заставляет при нахождении высших членов асимптотического разложения для затопленной струи поднять вопрос о справедливости допущений, принятых в теории пограничного слоя.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление