Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.5. О применимости теории пограничного слоя для неавтомодельной затопленной струи

Рассмотрим подробнее приближение пограничного слоя. В цилиндрических координатах уравнения пограничного слоя для незакрученной осесимметричной струи имеют вид

Подобно тому, как это сделано в (90], введем переменную Аналогично (12) представим функцию тока линеаризованного уравнения Прандтля (29) в виде разложения по собственным функциям

где показатели степени играют роль собственных значений соответствующей спектральной задачи. Первый член разложения (30) есть точное автомодельное решение полной системы уравнений (29) и соответствует функции тока задачи о затопленной струе заданного импульса

Функция получена Шлихтингом 1232]:

Подставляя (31) в уравнение (29), линеаризованное на решении Шлихтинга, приходим к следующей линейной задаче на собственные значения:

Отметим, что значение является собственным. Соответствующая собственная функция во получена Лойцянским [90]. Следуя работе [90], введем переменную тогда (33) принимает вид

Уравнение (34) обладает иными спектральными свойствами, чем (13): во-первых, при любом существует решение, ограниченное при

так что имеется непрерывный спектр. Во-вторых, при определенных значениях существуют решения в виде полиномов степени Спектральные значения удовлетворяют соотношению

откуда видно, что кроме отвечающего решению (36), имеется дискретный целочисленный спектр

порождающий еще одно семейство ограниченных на интервале 10, 1] решений уравнения (34), которые в комбинации с решением (36), вообще говоря, позволяют выполнить условия (35). Однако при и 7 эти решения совпадают с (36) и приходится привлекать неаяалитические решения, имеющие в окрестности вид

которые также удовлетворяют условиям (35). Таким образом, спектр задачи (34) — (35) есть (38). Собственные функции, отвечающие этому спектру, образуют систему мультиполей уравнений пограничного слоя. Как и выше, в общей нелинейной постановке задачи мультиполи порождают мультипольные последовательности, члены которых удовлетворяют линейным неоднородным уравнениям. На первый взгляд полное обобщенное мультипольное разложение должно было бы совпасть с разложением по целым обратным степеням но поскольку все возникающие из-за нелинейности правые части в линейных неоднородных уравнениях соответствуют целым показателям степени, то для разрешимости задачи согласно развитому выше подходу решение должно быть пополнено членами, содержащими в соответствующих степенях, с коэффициентами, обеспечивающими эту разрешимость.

Сравнивая величины и на рис. 104, видим, что приближение пограничного слоя несправедливо, начиная Решение Лойцянского последний высший член разложения, совпадающий с решением уравнений Навье — Стокса при и больших Все полученные к настоящему времени высшие приближения в теории струй — члены одной и той же, а именно дипольной последовательности. Ясно, что такие приближения некорректны. Именно с этим, скорее всего, связано то парадоксальное обстоятельство, что второе приближение лучше согласуется с опытом, чем третье [5, 76].

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление