Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. НЕАВТОМОДЕЛЬНЫЕ ЗАКРУЧЕННЫЕ СТРУИ. ТЕПЛОВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕАВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАТОПЛЕННЫХ СТРУЙ

Предложенный здесь обобщенный мультипольный подход имеет широкую область приложения, значительно перекрывающую круг вопросов, рассмотренных в предыдущих параграфах. В частности, на его основе решается задача о возникновении приосевых возвратных течений в закрученных струях. Подобные течения наблюдаются экспериментально [5], но, несмотря на многочисленные попытки [57, 75, 76, 133], их не удается описать в рамках теории пограничного слоя. Ключевую роль в рассматриваемой проблеме играет интеграл сохранения, который до сих пор выпадал из поля зрения исследователей, но который с необходимостью обнаруживается при последовательном применении мультипольного подхода.

3.1. Общее решение неавтомодельной задачи о закрученной струе

Рассмотрим неавтомодельную закрученную струю. Решение для вращательной скорости будем искать в виде

Первые два члена в (1) соответствуют известным решениям [36, 140] (см. разд. 2.3), целые степени в которых диктуются законами сохранения поперечной компоненты импульса, ответственной за вращение струи [36], и z-компоненты момента количества движения. Характерная особенность первого члена — неограниченность при из-за невозможности одновременно удовлетворить условиям Это решение соответствует истечению струи из вихревой нити. Решение для обладающее минимальной особенностью, регулярное при в случае наличия вращения неаналитично:

Для таких решений источник вращения не может быть точечным. Если вернуться к постановке задачи с заданным распределением вектора скорости на сфере радиуса то для регулярности решения при необходимо положить в результате чего получается постановка задачи Лойцянского [90], в которой первым является дипольный член разложения, характеризуемый заданием z-компоненты потока момента количества движения

Эта задача решена сначала в рамках теории пограничного слоя в [90], а затем и для полных уравнений Навье — Стокса в [140], где получено

Постоянная определяется моментом импульса Вычисляя интеграл в (2) с учетом, что описывается решением Ландау (1.1), (1.2), приходим к соотношению

Если (1) подставить в уравнение Навье — Стокса (2.1), то при использовании для решения Ландау также можно получить систему однородных линейных уравнений, определяющих собственные функции

Здесь сохраняется в виде (2.4). Остальные уравнения будут неоднородными, что породит в (1) свою систему мультипольных последовательностей.

Собственное значение при всех числах Рейнольдса, поскольку это соответствует закону сохранения момента количества движения. Для значения оказываются дробными и зависят от числа Рейнольдса (рис. 106). При собственные значения целочисленные и им отвечают собственные функции вида где некоторые полиномы степени Нетрудно видеть, что система является в этом пределе полной системой функций. Это соответствует ясному физическому условию, что на сфере радиуса можно задать скорость любой регулярной функцией угла в частности произвольной функцией из пространства

Доказать полноту системы для произвольных традиционными методами ввиду нелинейной зависимости собственного значения в (5) не представляется возможным. (Вероятно, это можно сделать аналитическим продолжением семейства по параметру А, фигурирующему в решении Ландау.) Однако поскольку число собственных функций с ростом не изменяется, то по непрерывности полнота должна иметь место и в некоторой окрестности Следует отметить, что согласно проведенным расчетам не существует собственных значений внутри

Рис. 106.

интервала поэтому дипольный член с действительно является главным в разложении (1), когда

Таким образом, учитывая результаты § 2, получаем, что решение задачи о закрученной струе содержит три счетных набора произвольных постоянных с помощью которых можно всегда удовлетворить граничному условию на сфере радиуса Но в виде произвольно заданного осесимметричного вектора скорости соответствующего ненулевому источнику импульса на ней При этом главные члены асимптотического разложения при определяются четырьмя интегралами сохранения: импульсом струи расходом и двумя компонентами момента количества движения

Перейдем к построению общего решения сформулированной краевой гидродинамической задачи вне шара радиуса Для этого разложения (2.26) и (1) с учетом собственных значений необходимо дополнить членами с такими показателями при сферическом радиусе чтобы при подстановке полученных разложений в уравнении Навье — Стокса линейные и нелинейные члены имели показатели степени при из одного и того же семейства (см. § 2). Следовательно, семейство дробных показателей степени должно быть замкнуто относительно этой подстановки. Искомое разложение имеет вид (ср. с

где целые неотрицательные числа, выбираемые таким образом, чтобы множества были вполне упорядочены по признаку отличаются от ограничениями на суммы и , отметим также, что множество упорядочено иначе, чем в (2.26), поэтому функции не совпадают с аналогичными функциями в (2.26)).

Мультиполыюе разложение (6) — (10) справедливо для решения краевой гидродинамической задачи вне шара, из которого бьет струя. В этом случае собственные значения и соответственно показатели степени Можно расширить границы применимости развитого обобщенного мультипольного разложения на струйные течения в ограниченных областях, если семейство собственных значений дополнить отрицательными показателями степени и соответственно Такие отрицательные собственные значения действительно существуют в некоторой области небольших чисел Рейнольдса. В случае как было показано в разд. 4.2, спектральные значения, отвечающие собственным функциям в виде полинома степени 1, есть Отсюда видно, что существует двукратный целочисленный спектр отрицательных аналогичный спектру положительных собственных значений, причем множество собственных функций, соответствующих есть полная система полиномов, удовлетворяющая всем необходимым условиям см. § 2). При увеличении числа Рейнольдса двукратные собственные значения расщепляются на две ветви, а система собственных функций для каждой ветви остается полной по крайней мере в некоторой окрестности точки что позволяет удовлетворить граничным условиям для на внешней сфере радиуса

Нетрудно установить, что при отрицательные целочисленные значения показателей степени для окружной скорости также являются собственными, а система собственных функций полной (при имеется собственная функция в виде полинома степени При увеличении числа отрицательные становятся дробными, а число собственных функций не меняется, поэтому следует ожидать полноты системы собственных функций для отрицательных и при

Таким образом, с помощью мультипольпого разложения можно построить решение уравнений Навье — Стокса в шаровом слое, на границах которого задано произвольное осесимметричное поле скорости из В этом случае разложения (6) — (10) имеют тот же вид, но суммирование распространяется от до (эти пределы указаны в скобках). Отрицательные индексы у показателей степени означают, что причем

Общее решение уравнений Навье — Стокса (6) — (10) может быть полезным и при решении других осесимметричных краевых задач гидродинамики. В частности, граничные поверхности в виде

сфер радиусов можно заменить непересекающимися осесимметричными звездными поверхностями достаточной степени гладкости. Действительно, любую осесимметричную звездную поверхность можно описать, задав однозначную функцию где расстояние от начала координат до рассматриваемой поверхности. Подставляя функции в разложения для по заданному вектору скорости на определим весь двойной троекратный счетный набор произвольных постоянных с помощью которого решение полностью определяется во всей внутренней области.

До сих пор шла речь о мультипольных разложениях (6) — (10), как об общем решении уравнений Навье — Стокса. Однако пока не доказана равномерная сходимость этих разложений, представление решения в виде (6), (10) имеет лишь формальный характер.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление