Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.2. Сходимость обобщенных мультипольных разложений

Рассмотрим вопросы сходимости рядов (6) — (10). Ввиду того, что эти ряды носят характер степенных, в случае гидродинамической задачи для внешности шара с радиусом ряды при сходятся всюду в области если они сходятся при Таким образом, если с помощью представлений (6) — (10) оказывается возможным удовлетворить граничным условиям на сфере то указанные представления будут решениями уравнений Навье — Стокса везде в рассматриваемой области. Остается выяснить, существует ли ненулевой радиус сходимости рядов. Пусть интенсивности соответствующих мультиполей, причем а расход для простоты положим равным нулю. Случай с ненулевым расходом, когда присутствуют члены с может быть рассмотрен аналогичным образом.

Необходимо оцепить вклад члепов, возникающих из-за квадратичной нелинейности. Эти члены пропорциональны произведению

причем если сумма лежит в интервале то их вклад при можно оценить сверху величиной (Справедливость этого и некоторых последующих утверждений будет установлена ниже после общей характеристики проблемы сходимости.) Отсюда следует, что

интересующие нас ряды при достаточно естественных и общих предположениях сходятся при

Следует отметить, что если рассматривается гидродинамическая задача в шаровом слое или какой-либо аналогичной осесимметричной области, то сходимость рядов (6) — (10) ставится под сомнение. Однако если интенсивности мультиполей, соответствующих отрицательным показателям степени экспоненциально быстро, как убывают с ростом то мы увидим, что полные ряды сходятся и в этом случае, но стационарные осесимметричные решения теряют устойчивость при весьма небольших числах Рейнольдса, поэтому представление решений в виде (6) — (10) уже при невысоких может потерять физический смысл.

Фактическое вычисление интенсивностей мультиполей из граничных условий приводит к бесконечной нелинейной алгебраической системе, разрешаемой рекуррентным способом, для чего системы функций необходимо последовательно ортогонализировать. Эта процедура может оказаться весьма трудоемкой, если для построения приближенного численного решения требуется большое число собственных функций. Тем не менее расчет течения по полученным решениям в ряде случаев оказывается достаточно эффективным, поскольку не содержит итераций по нелинейпости, характерных для решений уравнений движения обычными сеточными методами [174, 220]. В частности, вклад членов, возникающих в результате итераций по нелинейности, асимптотически мал при поэтому достаточно ограничиться решением линейной задачи при больших что сильно упрощает алгебраическую систему для определения

Следует отметить, что выбор базиса в виде собственных функций не является единственно возможным для задачи в ограниченной области. В принципе можно рассматривать произвольные галеркинские приближения. Однако представляется, что базис из собственных мультиполей наиболее удобен, поскольку имеет ясное физическое содержание для каждого члена разложения, что немаловажно для приближенного решения задачи. В ряде случаев достаточно рассмотреть один-два члена разложения, чтобы получить физическую информацию о решении. Рассмотрим два таких примера.

Оценим вклад членов разложения (6) — (10) при показателях степени лежащих в интервале при достаточно больших для задачи о струйном течении во внешности шара Пусть для простоты показатели степени целые а расход равен нулю, чему соответствует отсутствие в разложениях членов с Тогда в указанном интервале содержится только одно значение (если — дробные, то получаемая ниже оценка не претерпевает значительных изменений, о чем будет указано в соответствующем месте). В этом случае разложения для полей скорости и давления

принимают вид

где члены

удовлетворяют уравнениям

Координаты скорости и давления обезразмерены по их характерным значениям на сфере Из (12), (13) находим

где интегральный оператор имеет вид

обратный оператор к оператору Лапласа. Поскольку оператор интегральный, то можно показать, что он ограничен на пространстве функций из (12), где

причем норма определяется соотношениями

Из (14) с учетом (15), (16) следует

Полагая

при соотношению (17) можно придать интегральную форму

Выражение (19), записанное в виде равенства может служить уравнением для получения верхней оценки функции при больших которой вполне достаточно для решения вопросов о сходимости разложений. Действительно, усилим неравенство (19):

где

причем, по построению,

Пусть существует непрерывное решение уравнения

Нетрудно показать, что Обозначим

Из следует

откуда Поскольку непрерывна, существует такое число что при Пусть тогда (23) приводит к противоречию при условиях и Таким образом, для всех конечных х. Итак,

Обозначим

тогда (21) представляется в виде

Уравнение (26) можно решить методом преобразования Лапласа

где Поскольку имеем [55]

Для того чтобы определить асимптотику при достаточно исследовать решения (27) при В этом случае а два корня (27) имеют вид

Применяя обратное преобразование Лапласа, нетрудно видеть, что при первых! корень определяется выражением

а второй

Из (29) следует, что для достаточно больших х величина что недопустимо для нормы. Таким образом, главный член асимптотического разложения при дается (30) и не зависит от величины Поскольку можно сделать вывод, что сходимость рядов (6) — (10) не зависит от значения Тем не менее следует учитывать, что интенсивности собственных мультиполей зависят от и в оценке постоянные а, с могут, вообще говоря, зависеть от и не исключается, следовательно, возможность существования такого при котором условия или могут нарушиться.

С другой стороны, главный асимптотический член (30) показывает, что при больших значениях решение определяется вкладом решения однородной задачи, вклад же части решения, полученной итерациями по нелинейности, пренебрежимо мал. Следовательно, главную роль в определении асимптотического поведения членов разложения при будет играть конкретный вид граничных условий. В случае рассматриваемой краевой задачи это вид профилей скорости на сфере Можно полагать, что для весьма широкого класса профилей скорости, близких к автомодельному, рассмотренные выше оценки будут справедливы. Указанное характерное асимптотическое поведение членов разложения может сделать предлагаемый способ построения решений уравнений Навье — Стокса удобным с практической, вычислительной, точки зрения, хотя вопрос о том, являются ли предлагаемые разложения

шими среди других возможных, остается открытым (вероятно, это простейшие разложения, обладающие необходимыми свойствами сходимости и полноты).

Следует отметить, что в случае задачи о струйном течении в шаровом слое можно получить аналогичные утверждения о сходимости рядов (6) — (10). В частности, неравенство (20) для решения на сфере преобразуется к виду

Нетрудно также показать, что где есть непрерывное решение уравнения

и при аналогичным образом можно получить если Фурье-образ функции такой, что при к — 0.

Для того чтобы ряды (6) — (10) сходились в области достаточно сходимости интеграла В частности, если выполнены неравенства при при то необходимые требования удовлетворяются и ряды абсолютно сходятся везде в области Следует отметить более жесткое условие на асимптотическое поведение собственных мультиполей при положительных степенях сферического радиуса Или поэтому область применимости предлагаемых разложений для струйного течения в шаровом слое может быть уже (по допустимому виду профилей скорости на сфере или чем в случае краевой задачи вне сферы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление