Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.5. Парадоксы скрытых инвариантов

Рассмотрим ситуации со скрытыми инвариантами, возникающие в теории затопленных струй. Струйные течения, в частности закрученные струи, играют не только важную практическую роль, но и в теоретическом плане имеют столь нетривиальные особенности, которые не перестают давать пищу для ума исследователей в течение более чем полувека. Задача о закрученной струе впервые была сформулирована в рамках теории пограничного слоя и приближенно решена Лойцянским в 1953 г. [90]. Решение строилось в виде асимптотического ряда по целым обратным степеням расстояния от точечного источника струи. Заданными величинами, характеризующими закрученную струю, считались интегралы сохранения: импульс расход и момент количества движения

В такой постановке задача получилась неавтомодельной. Ее решение характеризовало «слабую» закрученную струю, у которой вращательная скорость убывала гораздо быстрее, чем осевая или радиальная. Это не очень соответствовало опытным данным [5], которые для достаточно сильных струй демонстрировали в приосевой зоне сложные возвратные течения, тогда как теория их не давала. Это обстоятельство послужило стимулом для наращивания числа приближений (вплоть до седьмого!), но без особого успеха.

Причина кроется в существовании скрытого инварианта [36], не замеченного предшествующими исследователями. Этот инвариант, о котором пойдет речь, делает задачу автомодельной, что ее упрощает. В точной постановке задачу о струе можно рассматривать как частный случай истечения из сферического источника радиуса , на котором дано произвольное распределение скоростей при условии покоя на бесконечности. Понимая в соотношении импульсов (1.16) под поверхностью интегрирования суммарную поверхность где через обозначена поверхность сферы произвольного радиуса , из (1.16) получаем интеграл сохранения

Постоянство имеет смысл независимости от сферического радиуса когда векторная величина «выпущенная» из сферы сохраняется во всем пространстве. Проекция соотношения (27) на ось струи единственная в осесимметричном случае, определяет поток импульса характеризующий интенсивность струи

В теории затопленных вязких струй рассматривается асимптотическая ситуация далеких расстояний от источника или, что то же, реальный источник заменяется точечным при сохранении импульса Кроме того, обычно рассматривается случай

осевой симметрии течения относительно оси когда Поскольку в этих условиях из заданных параметров нельзя составить масштаб длины, из соображений размерности следует необходимость автомодельного решения вида где число Рейнольдса. Тем самым получается постановка задачи об автомодельных струях, наиболее ярким представителем которых является струя Ландау [86].

Для автомодельных решений данного класса нулевыми будут инварианты: расход и момент импульса

где антисимметричный тензор Леви — Чевита, так что под знаком интеграла стоит обычное векторное произведение и .

Однако в случае закрученной осесимметричной струи может быть указан еще один инвариант, который получается, если «спроектировать» (27) на ось Такая операция математически некорректна, но тот же результат можно получить, если в системе (1.11) уравнение для умножить на уравнение неразрывности умножить на сложить и проинтегрировать по от до . Тогда получается интеграл сохранения

который с учетом (1.15) и (1.12) можно записать в виде

На автомодельных решениях данного класса инвариант имеет конечное значение и может служить характеристикой закрученной струи, у которой Реальные струи, разумеется, могут иметь конечные значения как и но тогда они должны рассматриваться как неавтомодельные.

В работе [36] построено автомодельное решение с конечным инвариантом отвечающее истечению струи из конца полубесконечной вихревой нити заданной циркуляции. Эта же задача рассматривалась в [222]. Следует отметить, что найденное решение, аналитическое в области характеризуется логарифмически бесконечной продольной скоростью на полуоси где расположена вихревая нить. Оно не получается предельным переходом от случая вращающейся трубки, из конца которой бьет струя. Тем не менее предельный объект (вихревая нить), характеризуемый теми же интегралами сохранения, что и реальный источник

сильной закрученной струи, порождает течение, свойства которого вдали от источника вполне согласуются с наблюдениями [5].

Так, при достаточно интенсивном вращении струя может «разомкнуться» с возникновением вблизи оси циркуляционной зоны с возвратным течением. При этом, как оказывается [37], в определенной области параметров возможна неединственность решений, одно из которых может соответствовать сомкнутому режиму течения, а другое — разомкнутому. Замечательно, что эти свойства согласуются с наблюдениями. Достаточно сильно закрученную струю буквально мановением руки удается переводить из одного состояния в другое и притом оба состояния относительно устойчивы! Разумеется, в опыте речь идет о турбулентных струях, но тогда это свидетельствует в пользу гипотезы турбулентной вязкости, которая хорошо работает для описания свободной турбулентности [37, 144].

Следует также отметить, что вихревая нить принципиально отличается от точечного или сферического источника тем, что на полуоси Как показано в [37], уравнение для циркуляции допускает лишь монотонные решения, так что в рамках автомодельного описания невозможно выполнить условия регулярности Тем самым источник автомодельной закрученной струи не может быть точечным. Впрочем, не исключено, что введение переменной турбулентной вязкости способно снять это ограничение. Попытка такого рода предпринята в работе [255], к сожалению, оказавшейся неверной (см. гл. 2). Тем не менее возможность выполнения условий за счет подбора функции в принципе не исключается. Таким образом, хотя реальные струи вовсе не обязательно связывать с точечным или сферическим источниками, последние могут порождать лишь неавтомодельные ламинарные закрученные струи.

Первая попыткапостроения теории неавтомодельной струи без вращения с конечным расходом принадлежит Румеру [112], который предположил, что решение может быть построено в виде разложения по целым обратным степеням сферического радиуса. Как показано в [47], такое предположение некорректно. Решение должно строиться в виде разложения по дробным степеням причем показатели должны находиться как собственные числа некоторого линейного оператора. Кроме того, и это главное, правильное разложение помимо члена должно содержать член причем оба с произвольными константами. Еще одну произвольную постоянную, определяемую импульсом струи, содержит «автомодельный» член

Таким образом, в задаче возникло три произвольных константы, тогда как в «классической» постановке заданы лишь два интеграла сохранения. Как тут быть? Оказывается, исходя из (28), можно построить полный аналог рассмотренной величины

который отличен от нуля в незакрученной струе. Несложные выкладки для произвольной осесимметричной струи дают

Если бы интегрирование осуществлялось по полной сфере, то при как и в случае (27), было бы Именно поэтому инвариант (29) оставался незамеченным в предшествующих работах, что тем не менее не мешает ему быть полноправным интегралом сохранения.

В случае закрученной струи инвариант (28) имеет также проекцию на ось симметрии

При истечении из точечного или сферического источника, когда получается неавтомодельный случай Лойцяпского. Если, однако, отказаться от приближения теории пограничного слоя (в которой перестает быть инвариантом), а рассмотреть задачу в полной постановке, то при достаточно больших значениях соответствующее решение описывает неавтомодельную зону возвратных течений, имеющую конечную протяженность. Такая возможность полностью соответствует опытным данным. Подробно вопрос о неавтомодельных струях рассматривается в гл. 4.

В связи с обнаружением скрытых инвариантов в новом свете предстают экспериментальные результаты по осесимметричным следам, полученные под руководством Васильева [17]. Как известно, автомодельный след, возникающий при обтекании тела, в рамках теории пограничного слоя определяется только одним параметром — силой гидравлического сопротивления, которая играет роль интеграла сохранения импульса. В докторской диссертации Букреева [16] тем не менее показано, что два разных тела, имеющих примерно одинаковое сопротивление, образуют автомодельные, но совершенно различные следы, что демонстрирует, так сказать, «память формы». Весьма важно, что эффект отсутствует в плоских следах. По нашему мнению, объяснение заключается в существовании скрытого инварианта (точного или «адиабатического»), различного для разных исследованных тел.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление