Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.6. Мультипольное разложение и устойчивость неавтомодельной затопленной струи

Как уже отмечалось выше, полное решение (6) — (10) осесимметричной гидродинамической задачи о струе в ограниченной области с необходимостью содержит члены с показателями степени На рис. 112 представлены зависимости для нескольких первых отрицательных индексов. В § 2 было показано, что в случае показатели степени являются двукратными целыми собственными значениями спектральной задачи (2.13), соответствующими двойному полному набору собственных функций, как для положительных, так и для отрицательных Этот факт позволяет удовлетворить двум произвольным граничным условиям на двух поверхностях, ограничивающих область струйного движения. При увеличении числа Рейнольдса положительные показатели степени расщепляются на две непересекающиеся ветви.

Рис. 112 показывает, что в случае отрицательпых показателей степени собственные значения также расщепляются с увеличением но при некоторых числах последовательно сливаются. При пара действительных собственных значений превращается в комплексно-сопряженную пару. Характерное поведение первой такой пары представлено на рис. 113.

Рис. 112.

Рис. 113.

Наличие комплексных показателей степени приводит к появлению в общем разложении (6) — (10) членов, характеризуемых осцилляциями по сферическому радиусу В этом случае при достаточно больших интенсивностях соответствующих мультиполей возможно выполнение необходимого условия возникновения невязкой гидродинамической неустойчивости, заключающегося в том, что величина меняет знак на интервале [0, изменения цилиндрического радиуса Указанное условие, представляющее теорему Рэлея для осесимметричного течения, справедливо для параллельного приближения, когда течение не зависит на рассматриваемом участке от продольной координаты В общем случае критерий гидродинамической неустойчивости теряет рэлеевскую формулировку, но качественное изменение решения при связанное с появлением осцилляций по радиусу имеет тесную связь с устойчивостью течения, что подтверждается экспериментальными данными.

Таким образом, можно сказать, что при существуют такие стационарные осесимметричиые возмущения, обеспечивающие необходимую интенсивность мультиполей с комплексно-сопряженными показателями степени, при которых течение теряет устойчивость. Такие возмущения, как это следует из условия невязкой неустойчивости, могут быть совсем не малыми. Заметим, что члены, порождающие неустойчивость, отвечают граничным условиям на внешней поверхности. Поэтому устойчивость также может теряться на внешней границе течения, что согласуется с экспериментальными результатами работы [195]. В работе [250] опытным путем обнаружено, что критическое число Рейнольдса для осесимметричной затопленной струи составляет что несколько превышает значение Следует отметить, что возмущения, вносимые в поток, в этой работе носили кратковременный характер и не исчерпывали, таким образом, весь класс возможных возмущений. Экспериментальное значение числа Рейнольдса, при котором наблюдается неустойчивость, соответствует области, в которой комплексно-сопряженными оказываются две-три пары собственных значений (см. рис. 112), т. е. в условиях, когда интенсивности отдельных мультиполей могут быть значительно ниже. В работе [231] нарушение стационарности и осесимметричпости течения ламинарной затопленной струи впервые наблюдалось при (в нашей работе принято определение числа Рейнольдса, соответствующее где радиус трубки, скорость жидкости в трубке, из которой бьет струя), что хорошо согласуется с результатами, полученными выше. Заметим, что рассчитанное ранее обычными методами теории гидродинамической устойчивости критическое значение числа Рейнольдса [196, 211] значительно превышает его экспериментальное значение.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление