Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.7. Приосевой обратный ток для закрученной струи

Рассмотрим неавтомодельную закрученную струю на достаточно больших расстояниях от ее источника. В этом случае главные члены разложения имеют вид

где много больше характерного размера источника Максимальный порядок удержанных в (33) членов определяется необходимостью учета вклада азимутальной скорости в меридиональное течение. Согласно рис. 102 собственные значения отщепляющиеся от значения при таковы, что при Поэтому в (33) учитывается только собственное решение, отвечающее струйному квадруполю, с показателем степени В пределе интегральный инвариант (28) с учетом (33) принимает вид

где функции определены в (2.4), (2.20), (2.21), (3) соответственно. Функции являются собственным решением

однородной системы уравнений (2.13), отвечающим спектральному значению . Подставляя разложение (33) в уравнения Навье — Стокса, можно найти, что оставшиеся функции удовлетворяют следующим линейным неоднородным уравнениям:

где операторы, имеющие вид

В общем случае довольно сложное выражение (34) требует весьма громоздкого анализа, поэтому сделаем некоторые упрощающие предположения, соответствующие существу задачи о возникновении обратных токов за счет вращения струи.

Во-первых, необходимо поставить краевую гидродинамическую задачу так, чтобы выделить ситуацию, когда обратные токи возникают из-за вращения жидкости, а не вследствие наличия обратных токов в самой подводящей трубке. Приосевой обратный ток в трубке, безусловно, приведет к возникновению возвратного течения в струе, но это не является предметом настоящего исследования. Дифференциальный источник струи имеет квадрупольный характер, описываемый парой собственных решений Таким образом, для рассматриваемой задачи с

однородным профилем скорости на срезе сопла, в решении (33) членами с в первом приближении можно пренебречь.

Во-вторых, как показывает опыт [5], приосевой обратный ток возникает лишь при достаточно сильной закрутке потока, поэтому естественно ограничиться рассмотрением сильно закрученных струй. В нашей неавтомодельной постановке это означает, что члены асимптотического разложения (33), зависящие от вращения, в области возвратного течения будут доминировать. Так, в первом приближении на расстояниях можно пренебречь членами последовательности с поскольку расход задается независимо от вращения и, следовательно, постановка задачи с пренебрежимо малым расходом, но сильным вращением вполне правомерна. В общем случае расход необходимо учитывать, так как при выброшенные члены становятся главными по сравнению с оставленными. Учет их принципиально меняет рассуждений и может быть осуществлен, хотя значительно усложнит анализ.

Итак, выраяепие (34) в рассматриваемом приближении приобретает вид

где учтено, что в функцию главный вклад дает решение однородного уравнения, а функция определена в (2.7). С принятой степенью точности функции удовлетворяют системе уравнений, вытекающей из (37), (38), (2.25), (3),

Нетрудно видеть, что решение этой системы уравнений можно представить в виде

Уравнения для получаются из (40) подстановкой (41) при соответствующих коэффициентах

так что функции зависят лишь от переменной х и числа Рейнольдса, определяемого параметром А (1.3). Подставляя (41) в (39), приходим к соотношению

где

Функции ) могут быть затабулированы. Расчеты показывают, что при всех Зависимости при представлены на рис. 114 кривыми соответственно.

Рис. 114.

Вводя безразмерные величины компонент момента количества движения где характерные скорости истечения и вращения яшдкости вблизи источника струи радиуса и производя замену на безразмерную величину с учетом сделанных приближений из (45) получаем выражение

где число Рейнольдса, входит множителем в (4). При Величина есть параметр крутки Величины определяются геометрией источника.

Нетрудно видеть, что при достаточно больших К величина всегда становится положительной что может послужить причиной возникновения приосевых обратных токов. Важным результатом проделанного анализа является то, что за возникновение обратных токов ответственен второй член асимптотического разложения (33) (членами с мы пренебрегли), хотя на первый взгляд можно было бы сделать вывод, что вращение может оказать влияние на поведение членов начиная с Принципиальным моментом здесь является наличие скрытого инварианта, интеграла сохранения

Приведем некоторые оценки режима течения с обратным током. Во-первых, следует заметить, что область возвратного течения в рассматриваемой постановке задачи всегда ограничена: при решение стремится к решению Ландау (1.1), (1.2), не имеющему обратных токов. В нашем случае скорость на оси струи

имеет вид . Таким образом, в области обратный ток возможен лишь при условии

Известно [37, 144], что для турбулентных струй, имеющих наибольшее практическое значение, неплохо работает гипотеза Буссипеска о постоянной турбулентной вязкости, причем соответствующее турбулентное Из (49), (50) найдем, что возвратное течение есть при условии

Соотношение (50), в котором знак неравенства заменен на знак равенства по порядку величины, может служить оценкой размера

Рис. 115.

Рис. 116.

области с обратным током На рис. 115 представлена зависимость продольного размера зоны от интенсивности вращения: при Отметим, что в этом случае получается весьма большое значение Поэтому в опытах с закрученными струями течение зачастую может быть интерпретировано как разомкнутое во всем пространстве. На рис. 116 изображены линии тока для случая

Сделанные выводы относятся в основном к закрученным струям, в которых величина собственного расхода струи не играет существенной роли. В случаях, когда влияние расхода на образование области возвратного течения необходимо учитывать, условие существования обратного тока (50) должно быть изменено. Из качественных физических соображений ясно, что наличие ненулевого расхода должно препятствовать образованию зоны с обратным током, поэтому потребуется более интенсивное вращение, большее К, чтобы эта зона возникла.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление