Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАТОПЛЕННЫЕ СТРУИ

4.1. Собственные решения неосесимметричной задачи о затопленной струе

Асимптотическое поведение неавтомодельных струй в целом определяется полученными в § 2 собственными решениями уравнений Навье — Стокса, линеаризованных относительно точного автомодельного решения полученного Ландау,

причем собственные функции (мультиполи) имеют степенную зависимость от сферического радиуса где сферические координаты. Показатель степени определяется как собственное значение соответствующей спектральной задачи для следующей из (1).

Нетрудно видеть, что аналогичный мультипольный подход справедлив и для неосесимметричной задачи о неавтомодельных затопленных струях. В этом случае решение (1) представляется в виде

Пусть

Для простоты в (3) опущены индексы и знак суммы. Вид (3) напоминает представление присоединенных полиномов Лежандра и диктуется видом правой части (1) и требованием, чтобы функции были аналитическими при соответствующем выборе а. Подставляя (3) в систему уравнений (1), записанную в сферической системе координат, и исключая величину с помощью уравнения неразрывности, приходим к следующей системе уравнений:

Систему уравнений (4) можно представить как результат действия несамосопряженного обобщенного дифференциального оператора Лежандра [131], поэтому в окрестности особых точек существуют аналитические решения, а условия ограниченности равносильны требованию аналитичности функций в этих точках. Условия аналитичности следуют из (4), если учесть, что задана выражением (1.2), и положить или Выбором параметра можно осуществить аналитическое продолжение решения из точки вплоть до точки (или наоборот).

Как видно из (4), условия аналитичности представляют собой четыре однородных уравнения на семь неизвестных Три из них могут быть заданы произвольно (удобно выбрать Этот факт вполне согласуется с физической постановкой задачи о неавтомодельном струйном течении вне некоторой сферы радиуса на которой задано произвольное непрерывное поле скорости при условии, конечно, что системы собственных функций соответствующие собственным значениям полны для каждого азимутального числа Последнее утверждение можно доказать в случае

Действительно, разыскивая решения (4) в виде полиномов от степени, степени и степени, найдем следующие спектральные значения а:

Собственные значения соответствуют задаче о течении вне шара, причем внутренней задаче. С помощью показателей можно построить решения в шаровом слое или какой-нибудь другой двусвязиой области, ограниченной звездными поверхностями, как это было показано в § 3 для осесимметричного случая. Таким образом, при собственные значения целые, а собственные функции, им соответствующие, — полиномы. Из (5) видно, что для каждого семейство собственных функций является базисом пространства всех полиномов, чья полнота в хорошо известна.

При исследование вопросов полноты собственных функций представляет значительные трудности, связанные с тем, что собственные значения а входят в уравнения (4) нелинейным образом. Как было указано в § 2, строгой математической теории таких спектральных задач пока нет, поэтому ограничимся качественными соображениями, подкрепленными соответствующими численными расчетами.

Коэффициенты системы (4) и импульс апалитичпы по если отсюда по аналогии с известными теоремами о параметрической зависимости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений естественно предположить непрерывную (и кусочно дифференцируемую при зависимость собственных функций от как от параметра при этом случае число собственных функций и их линейная независимость будут сохранены по крайней мере в некоторой окрестности точки потому пет оснований полагать, что при увеличении полнота систем собственных функций будет потеряна в этой окрестности. Следует отметить, что собственные значения также становятся функциями числа Рейнольдса причем как собственные функции, так и собственные значения могут быть комплекснозначпыми. Численные расчеты подтверждают непрерывную (и возможно кусочно дифференцируемую) зависимость вместе с соответствующими им собственными функциями

Расчеты проводились методом Рунге-Кутта-Мерсона с относительной точностью по следующей схеме. Интегрирование системы уравнений шестого порядка (4) ведется от особых точек Строятся по три линейно независимых аналитических решения где вплоть до некоторой точки сшивки находящейся в области наибольших градиентов искомой функции. Условие

аналитичности решения есть

Для того чтобы существовало нетривиальное решение этой системы уравнений, необходимо, чтобы определитель шестого порядка равнялся нулю,

Условие (6) является уравнением, определяющим спектральные значения Нетрудно видеть, что собственные значения не зависят от поскольку в результате сшивки решения в точке получается аналитическое решение всюду в области

Следует отметить, что при из (5) вытекает, что для каждого спектр есть причем однократно, трехкратно вырожденные собственные значения. В случае решение двухкратно вырождено, хотя из (1.9) можно было сделать вывод, что вырождения нет. «Дополнительное» решение — это решение вида полипом нулевой, первой степени), которое не было учтено при построении решений в виде полиномов и выводе (5). Легко видеть, что в случае других решений нет. При вырождение снимается, причем некоторые собственные значения остаются действительными, а другие образуют комплексно-сопряженные пары. На рис. 117 представлены показатели степени для случая как функции числа Рейнольдса. Кривые и 2 есть действительные ветви, порожденные двукратным собственным значением при Кривая 3 представляет собой единственную действительную ветвь трехкратно вырожденного собственного значения при две другие ветви которого образуют комплексно-сопряженную паюу

Рис. 117.

Рис. 118.

Рис. 119.

Рис. 120.

на рис. 118. Показатель степени изображенный кривой 4, имеет точки возврата и более сложное происхождение (см. рис. 119). Кривая 1 на рис. представляет собой действительную, а кривая 2 — мнимую части собственного значения комплексно-сопряженной пары, соответствующей при рис. продемонстрированы довольно сложные метаморфозы, происходящие с показателями степени при увеличении числа Рейнольдса. Штрихпунктиром обозначено действительное собственное значение, соответствующее кривой 4 на рис. 117. Из точки при отходят одна действительная (кривая 1) и две комплексно-сопряженных ветви (на рисунке не показаны), аналогично из точки при отходят одна действительная (на рисунке не показана) и две комплексно-сопряженные ветви, действительная часть которых есть кривая 2, а мнимая — кривая 3. В точке а эта комплексно-сопряженная пара сливается и рождаются два действительных показателя степени (кривые 4 и 5). В точке два действительных показателя степени (кривые 1 и 5) сливаются и рождается комплексно-сопряженная пара, действительная часть которой есть кривая 6, а мнимая — кривая 7. В точке с эта комплексная пара превращается в действительную пару показателей степени (на рисунке не показана). На рис. 120 представлены зависимости при более высоком азимутальном числе Кривая 1 соответствует действительному показателю степени, выходящему из невырожденного собственного значения при Кривые 2 и 3 представляют собой действительные ветви двукратного собственного значения при В точке а два действительных показателя степени сливаются (кривые 1 и 2) и рождается комплексно-сопряженная пара,

действительная часть которой есть кривая 4, а мнимая — кривая 5. Наличие комплексных показателей степени при сферическом радиусе в разложении (2) важно для понимания ряда физических эффектов, о чем пойдет речь в конце этого параграфа.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление