Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.3. Общее решение для неосесимметричной затопленной струи и ее устойчивость

Представление решения в виде (2) не удовлетворяет полным уравнениям Навье — Стокса. Основываясь на разложениях (2), подобно тому, как это было сделано в § 2, можно построить общее решение уравнений Навье — Стокса (при условии, что набор собственных функций обладает полнотой в что предполагается), если ввести разложение по более полному набору показателей степени, включающему, в частности, степени, которые возникают при подстановке (2) в нелинейные члены. Это семейство степеней должно обладать групповым свойством, так чтобы линейные и нелинейные члены давали показатели степени из того семейства. Дополнительные члены разлояения возникают как решения неоднородных линейных уравнений, правая

часть которых определяется известными нелинейными членами. Решение можно записать в следующем виде:

где

неотрицательные целые числа, выбираемые так, чтобы выполнялись неравенства Полевые величины комплекснозначны, а решения уравнений Навье — Стокса представляются в виде

Фактически построение общего решения (12) — (14) ведется с помощью итераций по нелинейности. В осесимметричном случае вопрос о сходимости полученных таким образом разложений исследовался в § 3, где было показано, что при достаточно общих предположениях о поведении коэффициентов решения линейного уравнения (2) с ростом а именно при ряды абсолютно сходятся. В случае неосесимметричной задачи могут быть получены аналогичные результаты, если предположить при либо (вывод требует значительного объема изложения, хотя, по существу, не сильно отличается от случая приведенного в § 3).

Важной отличительной особенностью от осесимметричного случая задачи о неавтомоделыюй затопленной струе является наличие в неосесимметричном случае (12) комплексных показателей степени (13). Это приводит к следующим физическим следствиям. Так, для сильно асимметричной струи на начальном участке главную

роль будут играть члены с в частности в задаче об истечении струи из прямоугольного отверстия, отношение прилежащих сторон которого сильно отличается от единицы, это члены с Наличие комплексных показателей приведет в этом случае, во-первых, к возникновению осцилляций в профиле скорости и, во-вторых, с ростом продольной координаты ширина струи будет переменной с периодом

На фопе общего расширения струйного течения это может быть интерпретировано как периодический поворот струи вокруг своей оси на 90°. При дальнейшем увеличении профиль скорости будет сглаживаться и стремиться к автомодельному. Сказанное относится к ламинарным струям. Однако качественные выводы, сделанные выше, могут иметь отношение и к турбулентным струям, поскольку для них хорошо работает гипотеза Буссинеска о турбулентной вязкости [37, 144]. Для сравнения опытных данных с полученными результатами достаточно взять следующее из опыта турбулентное число Рейнольдса [37]. Эксперименты [190, 79] показывают неплохое качественное согласие и более) с указанными характерными особенностями течения в случае «прямоугольных» струй, причем из приведенной в [190] фотографии следует, что период разворота струи порядка ширины струи в начальном сечении, что согласуется с данными рис. 118 и 120, где

Другое следствие относится к проблеме гидродинамической устойчивости струйного течения. Как уже указывалось, вклад несимметричности при достаточно больших интенсивностях ассимметричных мультиполей может приводить к осцилляциям в профиле скорости. Хорошо известна теорема Рэлея о невязкой гидродинамической неустойчивости в точках перегиба профиля скорости для одномерных плоских течений. В пространственном случае имеется ее аналог для осесимметричных плоскопараллельных течений. В общем случае критерий гидродинамической неустойчивости теряет рэлеевскую формулировку, тем не менее смена знака не малой по величине производной скорости и здесь может служить источником неустойчивости.

Из рис. 118 следует, что комплексные показатели степени возникают при и можно сделать вывод, что сильно несимметричные струи, как и классический слой смешения, теряют устойчивость при бесконечно малых числах Рейнольдса. Если же асимметрия «умеренная», то критическое число Рейнольдса должно зависеть от ее величины. Отметим, что при даже осесимметричные ламинарные струи неустойчивы при достаточно сильных возмущениях (см. § 3), поэтому область применимости решения (12) — (14) довольно ограничена (при струи неустойчивы относительно бесконечно малых возмущений [211]), хотя, как уже указывалось, предлагаемый обобщенный мультипольный подход полезен и при исследовании развитых турбулентных струйных течений.

Подводя итоги, можно сделать следующие замечания общего характера. Во-первых, надо отметить то важное обстоятельство, что парадоксы, как правило, в концентрированном виде выражают основные противоречия существующих теоретических положений, разрешение которых позволяет значительно продвинуться вперед в разработке гидродинамических концепций. В этом смысле парадоксы являются движущей силой научного исследования, чем и определяется та важная роль, которую они играют в гидромеханике. На примере этой главы можно было, в частности, видеть как преодоление парадокса неразрешимости в тепловой задаче для затопленной струи (см. § 1) привело к созданию обобщенного мультипольного подхода, который позволил построить решения гидродинамической и тепловой задач о струйном течении в общем виде (§2- 4). Наличие скрытого инварианта позволило объяснить возникновение приосевых обратных токов для неавтомодельных закрученных струй (§ 4). Во-вторых, есть основания полагать, что возможности обобщенного мультипольного подхода далеко не исчерпаны, и его можно будет применять и для решения других задач термогидродинамики.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление