Главная > Разное > Вязкие течения с парадоксальными свойствами
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. ПАРАДОКС ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВИХРЯ С ПЛОСКОСТЬЮ

Рассматриваемый здесь парадокс, хотя и не принадлежит к числу новых [32], для данной книги имеет особое значение, поскольку является одним из главных стимулов ее написания, поэтому опишем его подробно.

4.1. Постановка задачи

Пусть вязкая жидкость заполняет полупространство снизу ограниченное твердой неподвижной плоскостью Движение индуцируется бесконечной вихревой нитью, помещенной на полуоси Предполагается, что вдали от плоскости выполнены условия течения, порожденного свободной вихревой нитью

где величина, имеющая размерность кинематической вязкости и с точностью до множителя равная заданной циркуляции вихря

Взаимодействие течения типа (1) с плоскостью часто встречается в различных технических устройствах, например в вихревой камере [37]. Эта проблема имеет отношение к таким интригующим явлениям природы, как смерчи, «пыльные дьяволы», торнадо и т. п. Из-за взаимодействия вихря с плоскостью в ее окрестности возникают вторичные течения, подчас имеющие очень высокую интенсивность. Это происходит по следующим причинам. Вдали от плоскости согласно так что градиент давления уравновешивается центробежной силой. На самой плоскости вследствие прилипания поле центробежных сил исчезает и градиент давления компенсируется возникновением радиального течения в направлении перепада давления, т. е. к оси вращения, которое должно иметь скорость, обуславливающую появление на плоскости сил трения, компенсирующих ослабление центробежных сил. Эти явления, называемые торцевым эффектом, играют существенную роль в процессе движения частиц в вихревой камере. Они же способствуют подсосу к основанию смерча пыли и других предметов, которые делают видимым это явление природы.

Начало изучения взаимодействия вихревой нити с плоскостью положено Тейлором [247], который, исходя из обычных предположений теории пограничного слоя, допустил, что и при наличии плоскости соотношения (1) сохраняют силу всюду, за исключением узкой пристенной зоны, где образуется пограничный слой. Вообще говоря, этот пограничный слой трехмерен, так как из-за вторичных течений в потоке появляются все три компоненты скорости. Однако Тейлор предположил, что толщины пограничных слоев по радиальной и окружной А скорости совпадают.

Решение той же задачи, свободное от указанного предположения, дано Куком [164], откуда следует, что обе толщины нарастают, проходят через максимум и затем постепенно убывают. Обе толщины обратно пропорциональны как это обычно имеет место в теории пограничного слоя. Таким образом, решение Кука не выявило пикаких специфических особенностей у данной задачи.

В более общем виде задача была рассмотрена Мюллером [212], который исходил из полных уравнений Навье — Стокса. Последние были сведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений и Мюллер попытался построить решение, пользуясь соображениями теории пограничного слоя. В результате было получено решение, близкое к решению Кука. Решения уравнений Навье — Стокса того же класса были получены в работах Лонга [199, 200], по без учета сингулярности на оси и условий прилипания на плоскости.

После перечисленных работ может создаться впечатление, что в данной задаче все обстоит благополучно и решение фактически получено. Тем не менее основные математические трудности здесь остались непреодоленными. Соответствующий анализ показал, что решение задачи существует лишь при малых числах Рейнольдса и не существует при больших [32].

Для последующего анализа существенна обязательная автомодельность данной задачи, в которой отсутствует характерный масштаб длины. При помощи заданных циркуляции и кинематической вязкости можно образовать лишь безразмерный комплекс или обратную величину более удобную для дальнейшего использования. Значит, в задаче масштаб длины не только отсутствует, но и не может быть построен. В такой ситуации справедливо утверждение [9, 117]: если решение существует, оно обязательно должно быть автомодельным и иметь вид

Здесь использованы сферические координаты и соответствующие компоненты вектора скорости. Штрихом обозначено дифференцирование по переменной Соотношения (2) предполагают стационарность и осевую симметрию движения. Вид этих соотношений таков, что уравнение неразрывности в (1.11) выполняется автоматически. Функция связана с функцией тока меридионального сечения: Подстановка выражений (2) в уравнения (1.11) после исключения давления приводит к системе уравнений

Будем искать решение задачи, удовлетворяющее условиям прилипания на плоскости условию отсутствия на оси источников или стоков жидкости, а также условию ограниченности продольной скорости Эти требования приводят к формулировке граничных условий для системы (3) — (4):

С учетом условий (5) уравнение (3) после интегрирования приводится к виду

Константа интегрирования в (6) выбрана из условия обращения в нуль правой части при так как иначе пришлось бы допустить, что Но в таком случае что противоречит последнему условию (5). Для дальнейшего упрощения проинтегрируем уравнение (3) по частям, предварительно разделив его на

Новое интегрирование выражения (7) приводит к соотношению

Наконец, еще одно интегрирование дает

Полагая здесь в силу условий (5) получим Для определения постоянной сопоставим (6) и (7) при При этом следует иметь в виду, что ограничена, как это ясно из (8). Имеем

Сравнивая эти выражения, находим, что Следовательно, предыдущее уравнение можно записать в виде

Для определения постоянной используем условие

которое с учетом ограниченности дает Следовательно, для определения константы имеем условие

Введем новую неизвестную функцию согласно соотношению

Тогда уравнение (4) примет вид

Отсюда находим

где - постоянная интегрирования. Заметим, что Интегрируя (13) еще раз, получим

причем здесь учтено условие Постоянную а найдем, удовлетворив условию

С учетом того, что уравнение (9) принимает вид

Согласно (14) и (15) находим

Для интегродифференциальной системы (16) — (17) достаточно поставить одно условие которое следует из условия

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление