Главная > Разное > Введение в термоупругость (Коваленко А.Д.)
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2.6. Криволинейные координаты

Основные положения термоупругости рассматривались выше с привлечением прямоугольных координат. Однако для решения ряда задач термоупругости удобно применение ортогональных криволинейных координат.

Рис. 5.

Рассмотрим основные уравнения в цилиндрических и сферических координатах; при этом предположим, что правило суммирования по повторяющимся индексам для криволинейных координат не имеет места.

В цилиндрических координатах положение точки определяется тремя координатами (рис. 5). Координатными поверхностями являются цилиндры полуплоскости и плоскости

Декартовы координаты связаны с цилиндрическими соотношениями

Введем в рассмотрение трехгранник единичных взаимно ортогональных векторов образующих правую систему; является единичным вектором радиуса, единичным вектором касательной к окружности, единичным вектором образующей. Каждый из единичных векторов направлен в сторону возрастания соответствующей координаты (см. рис. 5).

Из векторного анализа известно, что основные векторные операции в цилиндрических координатах можно выразить следующим образом:

В системе цилиндрических координат соотношения между компонентами тензора деформации вв, и компонентами вектора перемещений и записываются следующим образом:

Уравнения движения приобретают вид

где — компоненты тензора напряжения (рис. 6); компоненты вектора плотности объемной силы

в сферических координатах положение точки определяется тремя координатами Координатными поверхностями в этой системе координат являются сферы конусы и полуплоскости

Рис. 6.

Декартовы координаты связаны со сферическими соотношениями

Вводя трехгранник единичных взаимно ортогональных векторов (см. рис. 7), основные векторные операции в сферических координатах представляем в виде

(кликните для просмотра скана)

Ограничиваясь случаем осесимметричного температурного поля и поля напряжений, когда деформации и напряжения не зависят от координаты 0, в системе сферических координат получаем следующие зависимости (рис. 8):

соотношения между компонентами тензора деформации и компонентами вектора перемещения

уравнения движения

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление