Главная > Физика > Введение в теорию упругости для инженеров и физиков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Круглая пластинка с заделанным краем

243. Уравнение (40) запишем в виде:

Уравнение (41) удовлетворяется решением каждого из уравнений

Если мы будем рассматривать только те колебания, в которых не зависит от 8, то первое из уравнений (42) можно записать в форме

Решение этого уравнения:

где А и В — произвольные постоянные, функции Бесселя нулевого порядка.

Таким же образом для второго уравнения (42) мы получим решение:

Причем здесь использованы обозначения функций Бесселя, а через обозначены произвольные постоянные.

Вторые члены в первом и втором решениях, т. е. принимают бесконечные значения при Следовательно, они должны отсутствовать и мы имеем в случае сплошной круглой пластинки следующее общее решение уравнения (41)

244. Если

обозначить через то, продиференцировав (44), мы получим:

Если край пластинки заделан, то мы имеем два следующих граничных условия:

Воспользовавшись граничными условиями, мы получим:

Последнее равенство имеет место в силу того, что функции Бссселя удовлетворяют соотношениям

Уравнение (47) нашей задачи является уравнением частот. Значение удовлетворяющее этому уравнению, можно найти графически, вычертив с помощью таблиц функций Бесселя как функции переменного выражения, стоящие в левой и правой его частях.

Рэлей для наименьшего корня уравнения (47) нашел следующее значение

Вспомнив выражение для получим, что

или, если подставить из (16),

Из приведенного примера видно, что проанализировать колебания пластинки в общем случае весьма трудно. Пока мы не будем далее разбирать этого вопроса.

В главе XIV будут изложены другие методы, с помощью которых с меньшим трудом можно получить достаточно точные результаты.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление