Главная > Физика > Введение в теорию упругости для инженеров и физиков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Связь с общей теоремой механики

19. Уравнения (22) устанавливают теорему, взаимную с первой теоремой Кастилиано, и представляют собой частные производные от по Нужно заметить, что при нашем доказательстве мы предполагали, что упругая система под действием соответствующих сил находится в равновесии, но не обращались к закону Гука. В действительности соотношения (22) просто устанавливают «принцип виртуальных перемещений».

При возрастании сила совершает работу. Эта работа производится за счет потенциальной энергии Если возрастание , очень мало и если является потенциальной энергией то с точностью до малых величин первого порядка мы имеем:

Пусть являются потенциальными энергиями сил пусть

так, что V — общая потенциальная энергия приложенных сил. Если возрастание , не сопровождается изменениями то не изменяются при возрастании , и из (II) следует, что уменьшение V является уменьшением только V,. Итак, если является единственным изменяющимся перемещением, то мы можем подставить в вместо Если возрастание бесконечно мало, то это уравнение можно заменить следующим:

последнее равенство имеет место согласно первому

Записав этот результат в форме

мы заключаем, что возрастание не вызывает с точностью до малых величин первого порядка изменения Аналогичные результаты можно установить и в отношении других перемещений. является суммой полной потенциальной энергии внешних сил и полной упругой энергии, т. е. представляет собой полную потенциальную энергию (любого рода) упругой системы. Согласно (24) и другим уравнениям той же формы, для упругой системы устанавливается общая теорема механики, а именно: полная потенциальная энергия любой системы имеет стационарное значение, когда эта система находится в равновесии, и имеет минимальное значение, когда это равнозесие устойчиво

Доказательство сформулированной теоремы не опиралось на закон Гука. Теорема будет использована нами в § 106

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление