Главная > Физика > Введение в теорию упругости для инженеров и физиков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Преобразование компонентов напряжения

272. Обобщим теперь выводы §§ 130—132 и § 136 главы IV. Вначале выведем общие формулы преобразования компонентов напряжения.

Рассмотрим равновесие вырезанного из тела тетраэдра, грани которого перпендикулярны (рис. 91). Направление произвольно. Оно характеризуется направляющими косинусами Через А обозначим площадь наклонной грани тетраэдра (перпендикулярной Грани, перпендикулярные будут иметь соответственно площади Силы, действующие на этих гранях в направлениях компонентов напряжения соответственно равны:

Рис. 91.

Что и показано на рисунке. Заметим, что направление стрелок согласно с условием § 268.

Объем тетраэдра равен Через мы обозначили длину перпендикуляра, опущенного на наклонную грань из

начала О. Пусть размеры тетраэдра достаточно малы так, что его плотность можно считать постоянной. Компонент напряжения на наклонной грани, вызывает в направлении результирующую силу Следовательно, уравнение движения тетраэдра в проекции на запишется;

Через обозначена проекция ускорения на ось Уравнение можно сократить на общий множитель А. Далее, для того чтобы найти напряжение на наклонной грани, проходящей через точку О, будем неограниченно уменьшать Получим соотношение:

аналогичные соображения покажут, что

273. Напряжение на наклонной грани определяется с помощью компонентов по направлениям

Согласно § 264, используя методы статики, мы каждое напряжение можем разложить на какие-нибудь три направления. Таким образом, если будут направляющими косинусами другого направления то с помощью (5), (6) и (7) мы можем получить, что

Если направления перпендикулярны, то компонент напряжения, определяемый равенством (8), представляет собой касательное напряжение. Если оба направления тождественны, т. е.

то из равенства (8) мы для нормального напряжения на плоскости, перпендикулярной получим следующее выражение;

Итак, равенства (8) и (9) являются искомыми формулами преобразования напряжений. Эти формулы тождественны с (21) главы IV, когда

274. С помощью равенств (8) и (9) можно преобразовать напряжения от одной тройки перпендикулярных осей к другой. Пусть старые, а х, у, z новые координаты. Мы имеем следующую схему направляющих косинусов осей:

определяются соответственно равенствами (9) и (8) после подстановки в них вместо вместо Другие компоненты напряжения, отнесенные к х, у, z, можно выразить аналогичным образом.

Итак, если мы знаем девять компонентов напряжения (4), из которых, согласно равенствам (5), независимы только шесть, мы можем вычислить компоненты напряжения на любой плоскости, проходящей через рассматриваемую точку. Эти шесть компонентов полностью характеризуют напряженное состояние.

275. Схема преобразования § 274 ортогональна, следовательно, направляющие косинусы связаны следующими соотношениями:

Использовав эти соотношения, легко показать, что

Другими словами, величина инвариантна по отношению к ортогональному преобразованию координат.

Примеры

1. Показать, что

также являются инвариантами.

2. Пусть являются компонентами некоторого вектора, а компонентами некоторого напряжения. Показать, что преобразование, переводящее (компоненты вектора относительно новых ортогональных осей будет также переводить три величины

Это показывает, что величины (1) являются компонентами вектора.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление