Главная > Физика > Введение в теорию упругости для инженеров и физиков
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА X. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ И ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

312. В главе VIII (§ 285) мы с помощью теорем динамики вывели три уравнения, связываюнще компоненты напряжения С помощью этих уравнений можно определить напряженное состояние. Мы заметили, что для полного определения напряженного состояния одних этих уравнений недостаточно, потому что число независимых компонентов напряжения равно шести. Решение будет возможно, если мы, подобно тому как в главе IV, сможем выразить компоненты напряжения как функции шести компонентов деформации. На самом деле, в главе IX (§§ 294—295) мы видели, что все компоненты деформации можно выразить как функции трех независимых величин смещений Если мы проведем все эти подстановки в наших динамических уравнениях, то в конце концов мы получим три уравнения с тремя неизвестными.

Обобщенный закон Гука

313. В главе I мы высказали закон Гука. Закон основан на эксперименте и устанавливает соотношение между силами, приложенными к поверхности тела, и перемещениями, которые они производят. В главе IV (§§ 113-114) мы обобщили закон дальше, чем гарантируется простым экспериментом. Мы постулировали некоторое определенное свойство нашего идеального материала. Это свойство заключается в том, что напряжение любого рода, действующее на какой-либо малый элемент тела, будет вызывать пропорциональные действующим напряжениям деформации. Объединяя этот постулат с принципом суперпозиции, который, как мы видели в главе I, является логическим следствием закона Гука, и учитывая

результаты главы VIII и IX, мы можем точно сформулировать второе из наших основных предположений, т. е. обобщенный закон Гука. Каждый из шести независимых компонентов напряжения можно выразить как линейную функцию шести компонентов деформации и обратно.

Математическое выражение этого утверждения дает шесть соотношений для компонентов напряжения, как функций компонентов деформации следующего типа:

или, наоборот, шесть соотношений, дающих компоненты деформации как функции компонентов напряжения такого типа:

Коэффициенты в этих соотношениях являются постоянными величинами, значения которых зависят от свойств материала. Зная шесть соотношений типа (1), мы можем получить шесть соотношений типа (2) и наоборот. Очевидно, что, принимая обобщенный закон Гука [независимо от того, принимаем ли мы его в форме (1) или в форме (2)], мы вводим тридцать шесть постоянных — по шесть в каждом из шести уравнений. Ниже мы покажем, что тридцать шесть постоянных не являются независимыми, а должны удовлетворять соотношениям, число которых во всяком случае не меньше пятнадцати. Следовательно, число независимых постоянных никогда не бывает больше двадцати одного. При некоторых предположениях, которые мы неявно сделали в главе IV, оно сводится к двум.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление